Integrali impropri

Abbiamo visto che possiamo calcolare facilmente l’integrale di una funzione continua in un intervallo \([a,b]\) e l’abbiamo chiamato integrale definito secondo Riemann. Sappiamo però che non tutte le funzioni reali sono continue e che gli estremi di un intervallo possono prendere valori infiniti: qui entra in scena l’integrale improprio.
Gli integrali impropri si classificano in:

• integrali impropri di prima specie se almeno uno dei due estremi di integrazione è infinito;
• integrali impropri di seconda specie se nell’intervallo di integrazione la funzione ha almeno un punto di discontinuità (oppure un numero finito di punti di discontinuità);

Osservazione
Possiamo trovare anche integrali impropri che sono contemporaneamente di prima specie e di seconda specie.

Definiamo questi due tipi di integrali, soffermandoci sulla soluzione di questi (Esiste? È finita? È infinita?).

Integrale improprio di prima specie

Sono integrali su intervalli del tipo \([a,+\infty)\), \((-\infty,b]\) e \((-\infty,+\infty)\). Definiamo in dettaglio l’integrale improprio per il primo intervallo:

Sia \(f \colon [a,+\infty) \to \mathbb{R}\) una funzione integrabile su \([a, c]\) per ogni \(c\ge a\), si definisce l’integrale improprio di prima specie su \([a,+\infty)\) come

$$\int_{a}^{+\infty} f(x) \,dx = \lim_{c \to +\infty } \int_{a}^{c} f(x) \,dx $$

• \(f\) è definita in \((-\infty,b]\) ed è integrabile in \([c, b]\) per ogni \(c\le b\)
  

  $$\int_{-\infty }^{b} f(x) \,dx = \lim_{c \to -\infty } \int_{c}^{b} f(x) \,dx $$

• \(f\) è definita in \((-\infty, +\infty)\) ed è integrabile in \([c, d]\) per ogni \(c\le d\)
  

  $$\int_{-\infty }^{+\infty } f(x) \,dx = \lim_{c \to -\infty \\{d \to +\infty } } \int_{c}^{d} f(x) \,dx $$

Integrale improprio di seconda specie

Sono integrali di funzioni che hanno uno o più punti di discontinuità nell’intervallo di integrazione. Per semplicità definiremo, questo tipo di integrale, solo per funzioni che hanno uno o due punti di discontinuità. Partiamo con una prima definizione:

Sia \(f \colon [a,b) \to \mathbb{R}\) (in \(b\) la funzione non è continua!) una funzione integrabile su \([a, c]\) per ogni \(a\le c< b\), si definisce l’integrale improprio di seconda specie su \([a,b)\) come

$$\int_{a}^{b} f(x) \,dx = \lim_{c \to b^{-} } \int_{a}^{c} f(x) \,dx $$

• \(f\) è definita in \((a,b]\) ed è integrabile in \([c, b]\) per ogni \(a< c\le b\)
  

  $$\int_{a }^{b} f(x) \,dx = \lim_{c \to a^{+} } \int_{c}^{b} f(x) \,dx $$

• \(f\) è definita in \((a, b)\) ed è integrabile in \([c, d]\) per ogni \(a< c\le d< b\)
  

  $$\int_{a }^{b} f(x) \,dx = \lim_{c \to a^{+} \\{d \to b^{-} } } \int_{c}^{d} f(x) \,dx $$

• \(f\) è definita in \([a, c)\cup (c,b]\) ed è integrabile in \([a, s]\) per ogni \(a\le s< c\) e in \([q, b]\) per ogni \(c< q\le b\)
  

  $$\int_{a }^{b} f(x) \,dx = \int_{a }^{c} f(x) \,dx + \int_{c }^{b} f(x) \,dx $$

  
  e questo si riconduce ai casi precedenti.

Qualche parola sulle soluzioni degli integrali impropri di prima e seconda specie

In tutti i casi, dopo aver risolto l’integrale definito con uno o più estremi variabili, la soluzione dell’integrale improprio si riduce al calcolo di un limite. In base al risultato del limite distinguiamo tre casi:

• Se il limite esiste ed è finito la funzione \(f\) è integrabile in senso improprio e l’integrale improprio si dice convergente;
• Se il limite esiste ed è infinito la funzione \(f\) NON è integrabile in senso improprio e l’integrale improprio si dice divergente;
• Se il limite NON esiste la funzione \(f\) NON è integrabile in senso improprio e l’integrale improprio si dice indeterminato;