L’integrale è un operatore che usiamo sulle funzioni reali a variabile reale. E si indica con

$$\int_{a}^{b} f(x)\, dx$$


dove \(a\) e \(b\), con \(a<b\), sono numeri reali che indicano l’intervallo su cui vogliamo applicare questo operatore e \(f(x)\) la funzione reale che vogliamo integrare: \(a\) e \(b\) vengono detti estremi di integrazione e \(f(x)\) viene detta funzione integranda. Gli integrali si dividono in due tipi, gli integrali indefiniti e gli integrali definiti. Andiamo a vedere che caratteristiche hanno questi due tipi di integrali.

Integrali indefiniti

Si definisce integrale indefinito di una funzione \(f(x)\) su un certo intervallo \([a,b]\) e si indica con

$$\int f(x)\, dx$$


l’insieme di tutte le funzioni primitive di \(f(x)\), cioè tutte le funzioni la cui derivata vale \(f(x)\) sempre nell’intervallo di definizione. Le indicheremo con \(F(x)+c\), dove \(c\) è una costante reale che indica che le primitive sono infinite. Quindi:

$$ F(x)+c = \int f(x)\, dx \>\>per\>ogni\>c\>in\>\mathbb{R}$$


In particolare derivando ambo i membri, poiché \(c\) è una costante, avremo:

$$ F’(x)=D\biggl( \int f(x)\, dx\biggl)=f(x)$$


In un certo è come se facessimo l’operazione contraria alla derivata di una funzione.

Integrali definiti

L’integrale definito è l’integrale che si usa nella pratica, infatti, avendo un intervallo \([a,b]\), questo indica l’area sottesa della funzione nell’intervallo di partenza. Ci sono tante teorie di integrazione, ma un primo approccio all’integrazione è dato dall’integrale di Riemann: noi parleremo di questo tipo di integrale. Avendo una funzione \(f(x)\) su un intervallo \([a,b]\) ci preoccupiamo di dare una definizione rigorosa di integrale: come si fa?
Poniamoci per semplicità nel caso di funzioni continue e positive.
Un idea è di trovare l’area sottesa usando figure geometriche di cui è molto facile calcolarne l’area, nel caso di Riemann usiamo i rettangoli. Solo che una funzione può essere molto irregolare e la sua area non coincide quasi mai con l’area di un rettangolo (a meno che la funzione non sia costante nell’intervallo di integrazione)!
Allora ci viene in mente di procedere con un ragionamento analogo a quello usato nel problema della quadratura del cerchio…. suddividiamo il nostro intervallo in una partizione

$$P=[a=x_0, x_1, ..., x_{n-1}, x_n=b]$$


Attenzione questa non è unica! Esistono tante partizioni di un intervallo!
Ora per ogni intervallino \([x_{i}, x_{i+1}]\), con \(i=0...n-1\), approssimiamo la funzione per eccesso e per difetto con dei rettangoli la cui lunghezza della base è uguale a \(x_{i+1}-x_{i}\) e la cui altezza è rispettivamente uguale al massimo della funzione nell’intervallino (per eccesso) e al minimo della funzione nell’intervallino (per difetto). Se nella partizione la somma delle aree dei rettangoli superiori (approssimazione per eccesso) è proprio uguale alla somma delle aree dei rettangoli inferiori (approssimazione per difetto), possiamo concludere che l’area sottesa è uguale al valore che ci viene fuori da queste somme e la indicheremo con

$$\int_{a}^{b} f(x)\, dx$$


altrimenti bisogna fare una partizione più fitta per arrivare a questo risultato.
Questo discorso è teorico, nella pratica andremo a trovare una primitiva della funzione e la valuteremo negli estremi di integrazione:

$$\int_{a}^{b} f(x)\, dx=F(b)-F(a)$$


da notare che non abbiamo scritto la costante \(c\) poichè si cancella facendo la sottrazione!

Esempi

  • \( \int_{1}^{2} 1\, dx=(x)|_2-(x)|_1=2-1=1\);
  • \( \int_{0}^{2} x\, dx=(\frac{x^2}{2})|_2-(\frac{x^2}{2})|_0=2\);
  • \( \int_{0}^{1} e^x\, dx=(e^x)|_1-(e^x)|_0=e-1\);
  • \( \int_{3}^{4} \frac{1}{x}\, dx=(|lnx|)|_4-(|lnx|)|_3=ln4-ln3=ln(\frac{4}{3})\);
  • \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} cosx\, dx=(sinx)|_ {\frac{\pi}{2}}-(sinx)|_0=1\);