Nella scorsa lezione abbiamo introdotto i monomi. In particolare, dopo averli definiti, abbiamo imparato quando due monomi sono simili, opposti o uguali e cosa sono i monomi nulli e fratti. Infine, abbiamo concluso la trattazione, con il concetto di forma normale, ovvero la forma più "elegante" di scrivere un monomio ossia esprimerli come unico coefficiente numerico che moltiplica delle lettere, ciascuna delle quali compare una volta sola con un certo esponente.
In questa lezione invece parliamo del grado di un monomio e scopriamo in che modo calcolarlo e facciamo qualche esempio pratico.
Grado di un monomio
Quando parliamo di un grado di un monomio distinguiamo tra:
- Grado di un monomio rispetto ad una lettera.
- Grado complessivo di un monomio.
Grado di un monomio rispetto ad una lettera
Con grado di un monomio rispetto ad una lettera intendiamo l’esponente della lettera nel monomio scritto in forma normale.
$$ 4x^3y^2z $$
Nel monomio sopra riportato abbiamo che 3 è il grado del monomio rispetto alla lettera x, che 2 è il grado del monomio rispetto alla lettera y e che 1 è il grado del monomio rispetto alla lettera z
Grado complessivo di un monomio
Con grado complessivo di un monomio intendiamo invece la somma degli esponenti di tutte le lettere che compaiono nel monomio.
$$ 4x^3y^2z $$
Nel monomio sopra riportato abbiamo che 3 è il grado del monomio rispetto alla lettera x, che 2 è il grado del monomio rispetto alla lettera y e che 1 è il grado del monomio rispetto alla lettera z quindi il grado complessivo del monomio è 3 + 2 + 1 = 6.
$$ 26x^8y^9z^4$$
Nel monomio sopra riportato abbiamo che 8 è il grado del monomio rispetto alla lettera x, che 9 è il grado del monomio rispetto alla lettera y e che 4 è il grado del monomio rispetto alla lettera z quindi il grado complessivo del monomio è 8 + 9 + 4 = 21.
$$ x^2y^5z^7$$
Nel monomio sopra riportato abbiamo che 2 è il grado del monomio rispetto alla lettera x, che 5 è il grado del monomio rispetto alla lettera y e che 7 è il grado del monomio rispetto alla lettera z quindi il grado complessivo del monomio è 2 + 5 + 7 = 14.
Introduciamo ora i concetti di massimo comun divisore e minimo comune multiplo che si calcolano in maniera molto simile a quanto fatto per il calcolo del massimo comune divisore e minimo comune multiplo tra numeri.
Massimo comun divisore
Esempio
Vogliamo calcolare il massimo comun divisore dei monomi:
$$ 3x^5y^2z^4, 18x^8y^2z^4w^2, 6x^9y^3z^3w^2 $$
Le lettere comuni ai tre monomi sono x, y, z. Vediamo quali esponenti scegliere:
Gli esponenti di x sono: 5, 8, 9 -> il più piccolo è 5;
Gli esponenti di y sono: 2, 2, 3 -> il più piccolo è 2;
Gli esponenti di z sono 4, 4, 3 -> il più piccolo è 3.
Quindi la parte letterale del massimo comun divisore é
$$ x^5y^2z^3 $$
Il coefficiente del massimo comun divisore è il massimo comun divisore tra 3, 18 e 6 che è 3.
Quindi:
$$ MCD(3x^5y^2z^4, 18x^8y^2z^4w^2, 6x^9y^3z^3w^2 ) = 3x^5y^2z^3 $$
Ricorda, se tra i coefficienti dei monomi di cui si vuole calcolare il massimo comun divisore è presente un numero non intero allora il massimo comun divisore sarà 1.
Minimo comune multiplo
Vogliamo calcolare il minimo comune multiplo dei monomi:
$$ 3x^5y^2z^4, 18x^8y^2z^4w^2, 6x^9y^3z^3w^2 $$
Per la parte letterale dobbiamo prendere le lettere comuni e non comuni. Vediamo quali esponenti scegliere:
Gli esponenti di x sono: 5, 8, 9 -> il più grande è 9;
Gli esponenti di y sono: 2, 2, 3 -> il più grande è 3;
Gli esponenti di z sono: 4, 4, 3 -> il più grande è 4;
Gli esponenti di w sono: 2,2 -> il più grande è 2;
Quindi la parte letterale del minimo comune multiplo é
$$ x^9y^3z^4w^2 $$
Il coefficiente del minimo comune multiplo è il minimo comune multiplo tra 3, 18 e 6 che è 18.
Quindi:
$$ mcm(3x^5y^2z^4, 18x^8y^2z^4w^2, 6x^9y^3z^3w^2 ) = 18x^9y^3z^4w^2 $$
Ricorda, se tra i coefficienti dei monomi di cui si vuole calcolare il minimo comune multiplo è presente un numero non intero allora il minimo comune multiplo sarà 1.