In questa e nelle prossime lezioni continuiamo a parlare di polinomi, nella scorse lezioni abbiamo mostrato come calcolare il quadrato e il cubo di un polinomio particolare, il binomio. In questa lezione trattiamo un altro prodotto particolare: il prodotto della somma di due monomi per la loro differenza.
I prodotti che abbiamo visto nelle passate lezioni, così come quello che stiamo per esaminare in questa lezione, vengono detti prodotti notevoli.

Prodotti notevoli significa semplicemente prodotti degni di nota. Come abbiamo visto già nelle passate lezioni I prodotti che abbiamo studiato, pur essendo semplici prodotti tra polinomi, presentano delle particolarità che ci permettono di non calcolarli come prodotti, ma ridurre I calcoli utilizzando la formula risolutiva.
Per esempio abbiamo visto come per calcolare il quadrato di un binomio non fosse veramente necessario moltiplicare il binomio per se stesso ma bastasse, utilizzando la formula, calcolare il quadrato dei due termini del binomio e sommarci il loro doppio prodotto. In formule avevamo visto che:

$$ (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 $$

Similmente abbiamo trovato una formula per il cubo del binomio. In questa lezione esamineremo inve ce il prodotto della somma di due monomi per la loro differenza, ricavando anche in questo caso una bella formula che ci permetterà di evitare di calcolare esplicitamente il prodotto.

Ricordiamo che moltiplicare un monomio per un polinomio è molto semplice: è sufficiente moltiplicare ogni addendo del polinomio per il monomio stesso.
Per moltiplicare due polinomi tra loro si procede in maniera simile a quanto visto nel caso di un monomio: si moltiplica ogni monomio del primo polinomio per il secondo polinomio.

Prodotto della somma di due monomi per la loro differenza

Veniamo al cuore di questa lezione; supponiamo di dover calcolare il prodotto della somma di due monomi per la loro differenza, cioè di dover calcolare, ad esempio, il seguente prodotto:

$$ (x+y)(x-y)$$

Utilizzando le regole del prodotto di polinomi otteniamo

$$ (x+y)(x-y) = x(x) – x(y) + y(x) – y(y) = x^2 +xy - yx - y^2 $$

Per la proprietà commutativa, i due fattori \( xy, \quad yx \) sono uguali; essendo di segno opposto si annullano. In definitiva si ha che

$$ (x+y)(x-y) = x^2 - y^2 $$

Ricapitolando, abbiamo ottenuto che:

“il prodotto della somma di due monomi per la loro differenza è uguale al quadrato del primo monomio meno il quadrato del secondo monomio”

Chiaramente questo risultato non vale solo per questo particolare esempio di prodotto di somma per differenza di monomi. Per convincercene mostriamo un altro esempio.

Esempio

Eseguiamo il seguente prodotto della somma di due monomi per la loro differenza:

$$ (xy^2 + z) (xy^2 – z) $$

Cominciamo sviluppando tutti i conti:

$$ (xy^2 + z) (xy^2 – z) = x^2y^4 + xy^2z -xy^2z – z^2 = x^2y^4 – z^2 $$

Ancora una volta abbiamo ottenuto, come risultato finale, la differenza dei quadrati dei due monomi iniziali. Avremmo quindi potuto evitare di sviluppare i conti intermedi e scrivere direttamente il risultato finale, diminuendo il tempo, i conti necessari e di conseguenza la possibilità di fare errori.

Con questa lezione finiamo di parlare di polinomi e di prodotti notevoli e iniziamo a parlare di un altro importantissimo argomento: le equazioni.