In questa e nelle prossime lezioni continuiamo a parlare di polinomi. Nella scorsa lezione abbiamo mostrato come moltiplicare un polinomio per un altro polinomio, invece, in questa lezione, vedremo come calcolare il quadrato di un polinomio particolare, il binomio.
Moltiplicare un monomio per un polinomio è molto semplice, come abbiamo già visto: è sufficiente moltiplicare ogni addendo del polinomio per il monomio stesso.

Per moltiplicare due polinomi tra loro si procede in maniera simile a quanto visto nel caso di un monomio: si moltiplica ogni monomio del primo polinomio per il secondo polinomio. Un esempio di moltiplicazione di due polinomi la vediamo subito qui di seguito:

$$ 2xy + 5xy^2 \qquad \qquad x^2 + y + 3 $$


vogliamo calcolare il prodotto

$$ (2xy + 5xy^2) ( x^2 + y + 3) $$

Si moltiplica ognuno dei monomi del primo polinomio per il secondo polinomio:

$$ 2xy ( x^2 + y + 3) + 5xy^2( x^2 + y + 3) $$

$$ x^2(2xy) + y(2xy) + 3(2xy) +x^2(5xy^2) + y(5xy^2) + 3(5xy^2) = $$

$$ = 2x^3y + 2xy^2 +6xy + 5x^3y^2 + 5xy^3 + 15xy^2 $$

che è il risultato finale.

Quadrato del binomio

Iniziamo con una definizione: un polinomio composto da due e due soli monomi si dice binomio. Un polinomio composto da tre e tre soli monomi è detto trinomio.

Esempio
I seguenti polinomi

$$x+y, \qquad xy^2 + z, \qquad x + 35x^2 $$


sono binomi.

I seguenti polinomi

$$x+y+z, \qquad xy^2 + z +z^2, \qquad x + 35x^2 +y$$


sono trinomi.

Per quadrato di un binomio si intende la moltiplicazione tra il binomio e se stesso.
Per esempio per calcolare il quadrato del binomio $x+y$ abbiamo

$$ (x+y)^2 = (x+y)(x+y) $$

Ricordando il metodo di prodotto tra due polinomi abbiamo

$$ x(x+y) + y(x+y) = x^2 + xy + xy + y^2 = x^2 + 2xy +y^2 $$

Il risultato che è venuto non è casuale: quando calcoliamo il quadrato del binomio il risultato sarà sempre il quadrato del primo monomio, il quadrato del secondo monomio e il doppio prodotto dei due monomi.

Esempio
In questo esempio troviamo il quadrato di un binomio facendo particolare attenzione alle regole dei segni. Consideriamo il seguente quadrato di binomio:

$$ (-xy + y^2)^2 = (-xy)^2 + 2(-xy)(y^2) +(y^2)^2 = x^2y^2 -2xy^3 + y^4 $$

Nota come il quadrato dei monomi ha sempre segno positivo. Anche se il monomio ha segno negativo, quando viene moltiplicato per se stesso, per la regola dei segni, avrà sempre segno positivo.

Una formula simile si può ricavare anche nei caso dei trinomi. Come esercizio si potrebbe provare a ricavare la formula per il quadrato di un trinomio cercano di moltiplicare il trinomio $x+y+z$ per se stesso.

Nelle prossime lezioni continueremo a parlare di polinomi e vedremo nel dettaglio un altro caso di moltiplicazione fra binomi. La così detta formula della somma per differenza.