Il teorema di Weierstrass è un teorema di base dell’analisi matematica, che viene usato spesso nelle dimostrazioni di altri risultati (vedi per esempio i teoremi di Rolle, Lagrange e Cauchy) e ci assicura l’esistenza di massimi e minimi assoluti di una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato. Enunciamo di seguito il teorema dandone una dimostrazione e facendo degli esempi per chiarire il concetto.

Teorema di Weierstrass

Sia \([a,b]\) un intervallo chiuso e limitato non vuoto in \(\mathbb{R}\) e sia \(f:[a,b]\to\mathbb{R}\) una funzione continua. Allora \( f(x)\) in \([a,b]\) ammette un punto di massimo assoluto e un punto di minimo assoluto.

Dimostrazione:
Possiamo restringerci a dimostrare che esiste un massimo assoluto della funzione in \([a,b]\), perché si procede allo stesso identico modo per far vedere l’esistenza del minimo. Facciamo vedere, perciò, che esiste questo massimo, cioè che esiste un punto \(x_M\) in \([a,b]\) tale che \( f(x_M)=M\) con \(M\) punto di massimo della funzione.
Inizialmente non possiamo dire nulla sul massimo, ma sappiamo che esiste sempre un estremo superiore della funzione finito o infinito che sia. In questo caso possiamo considerare l’estremo superiore finito, perché la funzione è continua in \([a,b]\) e non può essere che si avvicini a \(\pm\infty\) per un certo punto nell’intervallo poiché cadrebbe, appunto, la continuità. Quindi sia \(S\) l’estremo superiore di \(f\), ci basta dimostrare che questo viene raggiunto da \(f(x_M)\) per qualche punto \(x_M\) in \([a,b]\) e avremo il nostro massimo \(f(x_M)=S\).
Consideriamo la successione \(\{y_n\}_{n\in \mathbb{N}}\) fatta in questo modo

$$y_n=S-\frac{1}{n}$$


Perciò \(y_n\)appartiene ad \(f([a,b])\) per ogni \(n\) poichè \(S\) è l’estremo superiore, cioè il minimo dei maggioranti di \(f\).
Questa è una successione monotona crescente che all’infinito tende all’estremo superiore \(S\). Ora usiamo le proprietà dell’estremo superiore per dire che per ogni \(y_n\), cosi preso, esiste un \(x_n\) in \([a,b]\) tale che

$$y_n \le f(x_n) \le S $$


Quindi ci siamo costruiti la successione \(\{x_n\}_{n\in \mathbb{N}}\) nell’intervallo chiuso e limitato \([a,b]\). Non sappiamo nulla sulla convergenza di \(\{x_n\}_{n\in \mathbb{N}}\), ma, siccome \([a,b]\) è chiuso e limitato, per il teorema di Bolzano-Weierstrass ammette un estratta \(\{x_{n_k}\}_{k\in \mathbb{N}}\) convergente ad un certo \(\bar{x}\) in \([a,b]\). Notiamo che vale

$$y_{n_k} \le f(x_{n_k}) \le S $$


poiché vale per ogni \(n\) e in particolar modo vale anche per gli \(n_k\). Passando al limite per \(k\) che tende all’infinito:

$$\lim_{k\rightarrow +\infty} y_{n_k} \le \lim_{k\rightarrow +\infty} f(x_{n_k}) \le \lim_{k\rightarrow +\infty} S $$


Il primo membro della catena di disuguaglianze tende ad \(S\) per come l’abbiamo definito e l’ultimo membro, poiché è una costante, tende anche esso ad \(S\). Dunque avremo per il teorema dei due carabinieri

$$\lim_{k\rightarrow +\infty} f(x_{n_k})=S $$


Grazie alla continuità di \(f\) in \([a,b]\) abbiamo

$$\lim_{k\rightarrow +\infty} f(x_{n_k})= f(\lim_{k\rightarrow +\infty} x_{n_k})= f(\bar{x})=S $$


Abbiamo trovato il nostro \(x_M=\bar{x}\) tale che \( f(\bar{x})=S \) (\(S\) sarebbe il massimo \(M\) che cercavamo).
Per trovare che esiste un punto di minimo si procede con ragionamenti analoghi sull’estremo inferiore….
La dimostrazione è conclusa.

Esempi

  • La funzione \(x^2\) nell’intervallo \([0,1]\) è continua, quindi ammette massimo e minimo assoluti in esso;
  • La funzione \(ln(x)\) nell’intervallo \([1,2]\) è continua, quindi ammette massimo e minimo assoluti in esso;
  • La funzione \(\frac{1}{x}\) nell’intervallo \([-1,1]\) non è continua, perciò non possiamo applicare il teorema!! Osservando che il punto \(0\) non appartiene al dominio della funzione e facendo il limite in \(0\) si vede che abbiamo un asintoto verticale e che quindi da destra tende a \(+\infty\) e da sinistra a \(-\infty\).