Quadrato del trinomio

In questa lezione parliamo di polinomi e del loro prodotto. In una delle passate lezioni abbiamo parlato di quadrato del binomio (il quadrato di un polinomio composto da due monomi) in questa lezione invece generalizzeremo quanto visto in quella lezione, trovando la formula per il calcolo del cubo del trinomio.

Moltiplicazione tra un polinomio e un monomio

Moltiplicare un monomio per un polinomio è molto semplice: è sufficiente moltiplicare ogni addendo del polinomio per il monomio stesso.

Moltiplicare due polinomi

Per moltiplicare due polinomi tra loro si procede in maniera simile a quanto visto nel caso di un monomio: si moltiplica ogni monomio del primo polinomio per il secondo polinomio.

Esempio

Vediamo subito un esempio di moltiplicazione di due polinomi. Considera I seguenti due polinomi

$$ 2xy + 5xy^2 \qquad \qquad x^2 + y + 3 $$

vogliamo calcolare il prodotto

$$ (2xy + 5xy^2) ( x^2 + y + 3) $$

Si moltiplica ognuno dei monomi del primo polinomio per il secondo polinomio:

$$ 2xy ( x^2 + y + 3) + 5xy^2( x^2 + y + 3) $$

$$ x^2(2xy) + y(2xy) + 3(2xy) +x^2(5xy^2) + y(5xy^2) + 3(5xy^2) = $$

$$ = 2x^3y + 2xy^2 +6xy + 5x^3y^2 + 5xy^3 + 15xy^2 $$

che è il risultato finale.

Quadrato del trinomio

Iniziamo con una definizione: un polinomio composto da due e due soli monomi si dice binomio. Un polinomio composto da tre e tre soli monomi è detto trinomio.

Esempio

I seguenti polinomi

$$x+y, \qquad xy^2 + z, \qquad x + 35x^2 $$

I seguenti polinomi

$$x+y+z, \qquad xy^2 + z +z^2, \qquad x + 35x^2 +y$$

Per quadrato di un binomio si intende la moltiplicazione tra il binomio e se stesso.
Per esempio, per calcolare il quadrato del binomio $x+y$ abbiamo

$$ (x+y)^2 = (x+y)(x+y) $$

Ricordando il metodo di prodotto tra due polinomi abbiamo

$$ x(x+y) + y(x+y) = x^2 + xy + xy + y^2 = x^2 + 2xy +y^2 $$

Il risultato che è venuto non è casuale: quando calcoliamo il quadrato del binomio il risultato sarà sempre il quadrato del primo monomio, il quadrato del secondo monomio e il doppio prodotto dei due monomi.

Generalizziamo quanto visto nel caso dei binomi per i trinomi:

dato un trinomio

$$ ( x + y + z) $$

Farne il quadrato significa trovare il polinomio risultante dal prodotto di questo trinomio per se stesso.

$$ (x + y + z) ( x+ y + z) = x^2 + xy + xz + yx + y^2 + yz + zx + zy + z^2 $$

ricordandoci che il monomio xy e il monomio yx sono lo stesso monomio (proprietà commutativa), abbiamo che:

$$ (x + y + z) ( x+ y + z) = x^2 + 2xy + 2xz + + y^2 + 2zy + z^2 $$

In altre parole il polinomio finale sarà composto dai quadrati dei 3 monomi, e il doppio prodotto del primo monomio per il secondo, il doppio prodotto del primo monomio per il terzo e il doppio prodotto del secondo monomio per il terzo.

Come nel caso del quadrato del binomio questa regola è del tutto generale provala ad esempio ad applicare al trinomio

$$ (x^2 – 3y + 4z^3)$$