Nelle lezioni precedenti abbiamo visto la nozione di integrale definito secondo Riemann, non dicendo, però, alcune proprietà algebriche importanti di quest’ultimo. Andiamo ad enunciare tali proprietà ed, infine, concentriamoci su due delle più importanti regole di integrazione per gli integrali: l’integrazione per parti e l’integrazione per sostituzione.

Proprietà degli integrali definiti

Siano \(f\) e \(g\) due funzioni integrabili secondo Riemann nell’intervallo chiuso e limitato \([a,b]\). Allora valgono le seguenti proprietà algebriche:

  • Se gli estremi di integrazione sono uguali, abbiamo

    $$\int_{a}^{a} f(x)\, dx=0$$


    in parole povere, questo ci dice che l’integrale in un punto è \(0\).
  • Possiamo invertire gli estremi di integrazione a meno di un segno \(-\):

    $$ \int_{a}^{b} f(x)\, dx= -\int_{b}^{a} f(x)\, dx$$

  • Sia \(c\) un punto interno all’intervallo \([a,b]\), allora possiamo scomporre l’integrale in \([a,b]\) come somma dell’integrale in \([a,c]\) e dell’integrale in \([c,b]\):

    $$ \int_{a}^{b} f(x)\, dx= \int_{a}^{c} f(x)\, dx + \int_{c}^{b} f(x)\, dx $$

Infine le ultime due proprietà ci dicono che l’integrale che un operatore lineare:

  • Sia \(\alpha\) una costante reale, allora

    $$ \int_{a}^{b} \alpha f(x)\, dx=\alpha \int_{a}^{b} f(x)\, dx$$


    Questa proprietà ci dà l’omogeneità dell’integrale
  • Additività dell’integrale

    $$ \int_{a}^{b} f(x)+ g(x)\, dx= \int_{a}^{b} f(x)\, dx+ \int_{a}^{b} g(x)\, dx $$

Tra le proprietà enunciamo un teorema, poiché questo ci farà dire che l’integrale è un operatore positivo, una delle peculiarità più importanti di questo operatore:

Teorema
Sia \(f\) una funzione integrabile e non negativa (\(f>0\))nell’intervallo \([a,b]\). Allora abbiamo

$$ \int_{a}^{b} f(x)\, dx>0$$

Integrazione per sostituzione

L’integrale per sostituzione si usa quando abbiamo una funzione integranda il cui l’integrale è molto difficile da calcolare, ma, facendo un cambio di variabile, il calcolo diventa facile. Questo metodo sfrutta la nozione di derivata composta e di funzione inversa. Partiamo dall’integrale:

$$ \int_{a}^{b} f(x)\, dx$$


con \(f(x)\) una funzione continua in \([a,b]\) (\(f \colon [a,b] \to \mathbb{R}\)).
Osservazione: le funzioni continue sono integrabili in un intervallo!!
Vogliamo ora fare un cambio di variabile, come facciamo? Consideriamo una funzione \(g(t)\) derivabile con derivata continua e invertibile da un certo intervallo \(I\) in \([a,b]\) (\(g \colon I \to [a,b]\)) e facciamo la nostra sostituzione:

$$x=g(t)\quad \text{con}\quad t=g^{-1}(x) $$


derivando ambo i membri la prima uguaglianza avremo:

$$dx=g’(t)dt$$


Quindi l’integrale di partenza diventa un integrale in \(t\), cioè

$$ \int_{a}^{b} f(x)\, dx= \int_{ g^{-1}(a)}^{ g^{-1}(b)} f(g(t)) g’(t)\, dt$$


detta formula di integrazione per sostituzione per integrali definiti.
Ora sia \(H(t)\) una primitiva del nuovo integrale allora si verifica che è una primitiva anche per il vecchio integrale!

Integrazione per parti

La regola di integrazione per parti ci consente, sotto alcune condizioni, di scomporre l’integrale del prodotto di due funzioni nella somma di due integrali più semplici. Come prima, arriviamo a gradi alla formula.
Consideriamo \(f\) e \(g\) due funzioni continue e derivabili con derivata continua in un intervallo \([a,b]\) (condizioni per poter scomporre le funzioni). Dalla formula della derivata prodotto abbiamo:

$$D[f(x)g(x)]= D[f(x)]g(x)+ f(x)D[g(x)]$$


da cui

$$f(x)D[g(x)] = D[f(x)g(x)]-D[f(x)]g(x)$$


Ora notando che

$$ \int_{a}^{b} D[f(x) g(x)]\, dx= [f(x) g(x)]|_{a}^{b}$$


abbiamo la formula di integrazione per parti per integrali definiti integrando ambo i membri la relazione precedente:

$$ \int_{a}^{b} f(x)D[g(x)]\, dx= [f(x) g(x)]|_{a}^{b}- \int_{a}^{b} D[f(x)]g(x)\, dx$$

Questi metodi di integrazione in teoria possono risultare molto difficili, ma, passando agli esercizi, questi risultano molto semplici da applicare.