Come abbiamo già visto nell’articolo del calcolo combinatorio, in un insieme finito possiamo avere tre tipi di raggruppamenti possibili: le permutazioni(semplici o con ripetizioni), le disposizoni(semplici o con ripetizioni) e le combinazioni(semplici o con ripetizioni). Vediamo un applicazione di questi in vari problemi…

Problema 1

Quanti anagrammi (anche senza significato) posso formare con la parola amore?
Notiamo che la parola “amore” è composta da 5 lettere e quindi, volendo trovare gli anagrammi, dobbiamo ridisporle in modo tale che formino una parola di 5 lettere. È come se disponessimo le lettere una alla volta in 5 spazi vuoti, quindi:

  • per lettera “a” abbiamo 5 modi possibili in cui disporla;
  • per lettera “m”, avendo disposto “a”, abbiamo 4 modi possibili;
  • per lettera “o”, avendo disposto “a” e “m”, abbiamo 3 modi possibili;
  • per lettera “r”, avendo disposto “a”, “m” e “o”, abbiamo 2 modi possibili;
  • per lettera “e” abbiamo 1 modo possibile;

e quindi \(“anagrammi\> possibili”= 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 = 120\). Non abbiamo fatto altro che usare la formula delle permutazioni semplici!

Problema 2

Quanti anagrammi (anche senza significato) posso formare con la parola osso?
Dobbiamo fare un procedimento simile all’esercizio precedente, solo che, questa volta, si ripetono sia la lettera “o” che la lettera “s”!! Quindi dovremmo usare la formula delle permutazioni con ripetizioni: infatti a tutte le permutazioni di 4 elementi dovrò togliere il numero il numero delle singole permutazioni delle “o” e delle “s”:

$$P_{osso}=4!$$


$$P_{o}=2!$$


$$P_{s}=2!$$


Ne segue che gli anagrammi possibili saranno:

$$P_{osso}^{o,s}=\frac{ P_{osso}}{ P_{o} P_{s}}=\frac{4!}{2!2!}=12$$

Problema 3

In una gara di rally, partecipano 15 vetture. Quanti sono i possibili ordini di arrivo nelle prime 3 posizioni?
Dobbiamo trovare tutte le possibili disposizioni di 3 vetture su un insieme di 15 vetture tutte distinte fra di loro (non ci sono ripetizioni!). Non vogliamo altro che una presentazione ordinata di 3 elementi su un insieme di 15 elementi, su cui gli elementi non si possono ripetere: usiamo le disposizioni semplici.

$$D_{15,3} = \frac{15!}{(15-3)!}= \frac{15!}{12!}=2730$$

Problema 4

Quanti numeri di 5 cifre possiamo formare utilizzando i numeri 3,4,5?
Abbiamo un insieme di 3 elementi: i numeri 3,4,5. Vogliamo disporre in modo ordinato questi elementi in uno spazio di 5 elementi (il numero che vogliamo ottenere è di 5 cifre), solo che, a differenza del caso precedente, gli elementi si possono ripetere. Ricapitolando:

  • il numero 3 lo possiamo disporre in 5 modi;
  • per il numero 4 ci sono 5 possibilità;
  • per il numero 5 ci sono anche 5 possibilità;

Non dobbiamo fare altro che usare le disposizioni con ripetizioni:

$$ D’_{3,5} =3^5=243$$

Problema 5

In una piccola impresa formata da 10 persone, si devono scegliere 2 impiegati per un lavoro all’estero. In quanti modi è possibile scegliere queste 2 persone?
Su un insieme di 10 persone si devono scegliere 2 persone: qui l’ordine con cui vengono scelte le persone non ci interessa e, ovviamente, stiamo in un insieme di elementi distinti. Si deve usare, quindi, la formula delle combinazioni semplici…

$$C_{10,2}=\frac{10!}{2!(10-2)!}=\frac{10!}{2!8!}=45$$

Problema 6

In quanti modi possiamo collocare 6 palline uguali in 4 contenitori vuoti?
Siccome le palline sono indistinguibili, non ci interessa l’ordine con cui vengono collocate le 6 palline nei contenitori e se le palline vengono messe in uno stesso contenitore. Vogliamo una sequenza non ordinata di 6 elementi su un insieme di 4 elementi, in cui gli elementi si possono ripetere: usiamo le combinazioni con ripetizione.

$$C’_{4,6}=\binom{4+6-1}{6}=\binom{9}{6}=\frac{9!}{6!3!}=84$$