Trovare le soluzione di un sistema di equazioni lineari non è semplice in generale, soprattutto se abbiamo molte equazioni e tante incognite. Ma ci sono diversi metodi che ci aiutano a trovare una soluzione, sempre se ne esiste una, di questi sistemi: esaminiamoli insieme e vediamo come funzionano!
Per semplicità poniamoci nel caso in cui il sistema è composto da due equazioni in due incognite, cioè è della forma

$$\begin{cases} a_1x+b_1y=c _1 \\ a_2x+b_2y=c _2 \end{cases}$$


con le equazioni già ridotte in forma normale.
ATTENZIONE!!! Conviene sempre riportarsi a un sistema di equazioni in forma normale usando il primo e il secondo principio di equivalenza per le equazioni di primo grado, così da poter applicare i metodi risolutivi senza confonderci. Un primo passo è, quindi, la riduzione del sistema in forma normale.
Ci sono quattro metodi che possiamo utilizzare per la risoluzione: il metodo di sostituzione, il metodo di confronto, il metodo di riduzione e il metodo di Cramer.

Metodo di sostituzione

Il metodo di sostituzione consiste nei seguenti passi:

  • Ridurre il sistema in forma normale.
  • Isolare una delle due incognite in un equazione del sistema. In particolare, se consideriamo per esempio la prima equazione del sistema generale scritto qui sopra

    $$ a_1x+b_1y=c _1 $$


    la dobbiamo riscrivere nella forma equivalente

    $$ x=\frac{c _1}{a_1}-\frac{b_1}{a_1}y\quad oppure \quad y=\frac{c _1}{ b_1} - \frac{a_1}{ b_1}x$$


    E lo stesso procedimento vale se avessimo considerato la seconda equazione invece della prima.
  • Sostituire la forma equivalente dell’incognita isolata dell’equazione alla stessa incognita dell’altra equazione. Se consideriamo nel passo precedente

    $$ x=\frac{c _1}{a_1}-\frac{b_1}{a_1}y\quad oppure \quad y=\frac{c _1}{ b_1} - \frac{a_1}{ b_1}x$$


    Dobbiamo sostituire alla \(x\) della seconda equazione il valore \(\frac{c _1}{a_1}-\frac{b_1}{a_1}y \) oppure alla \(y\) il valore \(\frac{c _1}{ b_1} - \frac{a_1}{ b_1}x \) .
  • Ora avremo un’equazione lineare ad un incognita nel sistema lineare! Basta risolverla e avremo il valore di un incognita… basta sostituire il valore dell’incognita all’altra equazione e avremo la soluzione del sistema lineare.

Esempio
Consideriamo il sistema già ridotto in forma normale

$$\begin{cases} 3x+2y=5 \\ 3x+y=3 \end{cases}$$


e risolviamolo per sostituzione. Isoliamo la lettera \(x\) nella prima equazione

$$\begin{cases} x=\frac{5}{3}-\frac{2}{3}y \\ 3x+y=3 \end{cases}$$


Sostituiamo il valore ottenuto alla seconda equazione

$$\begin{cases} x=\frac{5}{3}-\frac{2}{3}y \\ 3\biggl(\frac{5}{3}-\frac{2}{3}y \biggl)+y=3 \end{cases}$$


Risolvendo la seconda equazione (è un equazione lineare a un incognita!!) avremo che

$$\begin{cases} x=\frac{5}{3}-\frac{2}{3}y \\ y=2 \end{cases}$$


E sostituendo il valore ottenuto in \(y\) alla prima equazione avremo la soluzione del sistema

$$\begin{cases} x=\frac{1}{3} \\ y=2 \end{cases}$$

Metodo di confronto

Il metodo di confronto consiste nel:

  • Ridurre il sistema in forma normale;
  • Isolare la stessa incognita in entrambe le equazioni del sistema, ottenendo, così, un equazione in una sola incognita. Se consideriamo il sistema generale e isoliamo per esempio le \(x\) delle equazioni (lo stesso vale per \(y\)) avremo

    $$ x=\frac{c _1}{a_1}-\frac{b_1}{a_1}y\quad e \quad x=\frac{c _2}{ a_2} - \frac{b_2}{ a_2}y$$


    e avremo la seguente equazione a un incognita

    $$ \frac{c _1}{a_1}-\frac{b_1}{a_1}y=\frac{c _2}{ a_2} - \frac{b_2}{ a_2}y$$

  • Risolvere l’equazione trovando il valore di un incognita e usare lo stesso metodo per trovare il valore dell’altra incognita.

Esempio
Risolviamo lo stesso esempio preso in considerazione prima, usando il metodo del confronto.

$$\begin{cases} 3x+2y=5 \\ 3x+y=3 \end{cases}$$


Isoliamo in ambo le equazioni la lettera \(x\)

$$\begin{cases} x=\frac{5}{3}-\frac{2}{3}y \\ x=\frac{3}{3}-\frac{1}{3}y \end{cases}$$


Avremo quindi l’equazione

$$\frac{5}{3}-\frac{2}{3}y=\frac{3}{3}-\frac{1}{3}y$$


Che mi da come soluzione \(y=2\).
Procedendo ora a isolare la lettera \(y\)

$$\begin{cases} y=\frac{5}{2}-\frac{3}{2}x \\ y=3-3x \end{cases}$$


otterremo un equazione lineare in \(x\)

$$\frac{5}{2}-\frac{3}{2}x =3-3x $$


che mi da come risultato \(x=\frac{1}{3}\).

Metodo di riduzione

Il metodo di riduzione si basa sul principio di riduzione per sistemi lineari che dice
Se ad un sistema sostituiamo un’equazione con quella ottenuta dalla somma o dalla differenza oppure dalla combinazione delle due operazioni membro a membro della stessa con le altre equazioni, otteniamo un sistema equivalente a quello iniziale
Enunciato il principio andiamo a vedere i passi per questo metodo:

  • Ridurre il sistema in forma normale.
  • Se le equazioni del sistema hanno il coefficiente di un incognita
    - uguale, sottraiamo membro a membro le equazioni per ottenere un’equazione a una sola incognita;
    - opposto, sommiamo membro a membro le equazioni per ottenere un’equazione a una sola incognita;
    - uguale moltiplicando uno dei due coefficienti per un numero, moltiplichiamo tutta l’equazione per il numero in questione e sottraiamo membro a membro le equazioni;
  • Basta risolvere l’equazione a una sola incognita e poi trovare di conseguenza la soluzione del sistema.

Esempio
Consideriamo sempre lo stesso sistema

$$\begin{cases} 3x+2y=5 \\ 3x+y=3 \end{cases}$$


Notiamo che il coefficiente della \(x\) è uguale nelle due equazioni! Sottraiamo quindi alla prima equazione la seconda

$$(3x-3x)+(2y-y)=(5-3)$$


Avremo il sistema

$$\begin{cases} y=2 \\ 3x+y=3 \end{cases}$$


Ora potremmo riapplicare il metodo di riduzione e trovare così la soluzione del sistema. Infatti sottraendo alla seconda equazione la prima stavolta

$$(3x-0)+(y-y)=(3-2)$$


avremo

$$\begin{cases} y=2 \\ 3x=1 \end{cases}$$

Metodo di Cramer

Il metodo di Cramer consiste nel calcolo dei determinanti del sistema lineare. Se consideriamo il sistema iniziale, il determinante del sistema sarà il numero

$$D=\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}=a_1b_2-b_1 a_2$$

Il determinante delle incognite si ricava sostituendo alla colonna dei coefficienti dell’incognita presa in considerazione, i termini noti delle equazioni. Infatti:

$$D_x=\begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix}=c_1b_2-b_1 c_2$$

$$D_y=\begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix}=a_1c_2-c_1 a_2$$

Avremo che la soluzione del sistema lineare sarà

$$\begin{cases} x=\frac{D_x}{D} \\ y= \frac{D_y}{D} \end{cases}$$


Esempio

Consideriamo sempre lo stesso sistema

$$\begin{cases} 3x+2y=5 \\ 3x+y=3 \end{cases}$$


Avremo che i determinanti saranno

$$D=\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}=3\cdot 1-2\cdot 3=-3$$

$$D_x=\begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}=5\cdot 1-2\cdot 3=-1$$

$$D_y=\begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 3 & 3 \end{vmatrix}=3\cdot 3-5\cdot 3=-6$$

E la soluzione sarà

$$\begin{cases} x=\frac{-1}{-3}=\frac{1}{3} \\ y= \frac{-6}{-3}=2 \end{cases}$$