Le successioni numeriche si applicano frequentemente nel campo dell’analisi matematica. Permettono, ad esempio, di studiare alcune proprietà delle funzioni continue, reali e a variabile reale (cioè funzioni con dominio un intervallo di \(\mathbb{R}\) che non presentano discontinuità) in modo più semplice ed intuitivo: un esempio molto più pratico lo otteniamo dalla fisica, poiché possiamo studiare dinamiche, a priori, complicate. Andiamo a dare una definizione di successione numerica e a fornire alcuni esempi.

Le successioni

La successione è una sequenza ordinata di numeri, vediamo subito qualche esempio:

  • i numeri pari formano una successione:

    $$2,\>4,\>6,\>8,\>10,…$$

  • i reciproci di numeri naturali:

    $$1,\>\frac{1}{2},\>\frac{1}{3},\>\frac{1}{4},\>\frac{1}{5},…$$

  • i quadrati di numeri naturali:

    $$1,\>4,\>9,\>16,\>25,…$$

  • i numeri primi:

    $$2,\>3,\>5,\>7,\>11,…$$

  • i numeri naturali stessi:

    $$1,\>2,\>3,\>4,\>5,…$$

Diamo una definizione rigorosa di quello che abbiamo appena visto. La definizione è molto simile a quella che abbiamo dato per le funzioni reali a variabile reale, solo che il dominio della funzione è diverso per questo caso. Infatti:

Definizione
La successione è una funzione con dominio l’insieme dei numeri naturali e codominio l’insieme dei numeri reali:

$$f\colon \mathbb{N}\to\mathbb{R},\quad n\mapsto f(n)=a_n$$


Definizione (per ricorrenza)
Possiamo anche definire una successione in modo ricorsivo, cioè dando il primo elemento della successione e una regola per definire quello successivo e via dicendo... Questa viene detta successione definita per ricorrenza.
Partendo da un certo dato iniziale \(a_0\) reale, definiamo:

$$a_n=g(a_{n-1})\quad con\>n=1,2,3,4…$$


e quindi tutti i termini della successione!
Attenzione: \(g\) è diversa dalla \(f\) precedente, infatti in questo caso \(g\) ci definisce praticamente una legge mentre nel caso precedente \(f\) ci definiva proprio la successione, scritto quindi in modo preciso sarebbe:

$$n\mapsto f(n)= \begin{cases} a_0\quad \text{punto iniziale}\\ a_n=g(a_{n-1})\quad n\ge 1 \end{cases}$$


Facciamo qualche esempio:

  • una semplice successione ricorsiva:

    $$2,\>7,\>17,\>37,\>77… \to \begin{cases} a_0=2\\ a_n=2(a_{n-1})+3\quad n\ge 1 \end{cases}$$

  • la successione di Fibonacci, una successione molto importante in matematica e non solo… infatti molte strutture biologiche seguono l’andamento di questa successione:

    $$1,\>1,\>2,\>3,\>5,\>8,\>13… \to \begin{cases} F_0=1\\ F_1=1\\ F_n=F_{n-1}+ F_{n-2}\quad n\ge 2 \end{cases}$$


    Attenzione: questa successione è definita per ricorrenza a partire da due dati iniziali, perchè la legge ricorsiva coinvolge i due termini precedenti.

Notazione
Possiamo scrivere la successione in modo compatto indicando con \(a_n\) i l valore che assume la \(f\) nel codominio al variare di \(n\) e mettendo come indice il valore del dominio \(n\):

$$\{a_n\}_{n\in \mathbb{N}}\quad oppure \quad \{a_n\}_{n}$$

Sottosuccessioni

Una sottosuccessione, o una successione estratta da una successione, si ottiene dalla definizione di successione, restringendone, però, il dominio. Infatti possiamo dire:
Definizione
Data una successione \(\{ a_{n} \}_{n\in \mathbb{N}}\) definita come in precedenza. Se restringiamo il dominio della successione ad un sottoinsieme \(A\) dei numeri naturali che ha infiniti elementi, otteniamo una sottosuccessione:

$$f\colon A\to\mathbb{R},\quad n_k \mapsto f(n_{k})=a_{n_k}$$


con \(n_k\) elementi del sottoinsieme \(A\) disposti in modo crescente (\(n_1< n_2< ...< n_k< ...\)) e \(k\) indici che variano in \( \mathbb{N}\) (variano nei naturali poiché \(A\) ha infiniti elementi ed è numerabile).

Notazione
Come prima la definizione compatta è:

$$\{ a_{n_k} \}_{ k \in \mathbb{N}}\quad oppure \quad \{a_{n_k}\}_{k}$$

  • Un esempio di sottosuccessione potrebbe essere:

    $$4,\>16,\>36,\>64,\>100…$$


    che è una sottosuccessione della successione dei quadrati dei numeri naturali. Infatti, in questa, si considerano solo i termini pari della successione.