In questa e nelle prossime lezioni, continuiamo a parlare di equazioni esaminando i diversi tipi di equazioni. Passeremo poi a vedere come si risolvono le equazioni di primo grado e soprattutto come possiamo usare questo strumento matematico per risolvere problemi teorici o quesiti più pratici. In particolare, in questa lezione esamineremo i diversi tipi di equazione al variare delle soluzioni che queste hanno.
Ricordiamo che una equazione non è nient’altro che un’uguaglianza fra due quantità.
Esempio
Vediamo alcuni esempi di equazione per capire meglio di cosa stiamo parlando.
La seguente è una equazione:
3kg di pane = 6 euro
Matematicamente possiamo scrivere l’equazione precedente, nel modo seguente:
$$ 3x = 6 $$
Dove con x intendiamo il prezzo di pane al Kg.
Le equazioni vengono spesso utilizzate per conoscere il valore di certe incognite a partire da un uguaglianza che sappiamo essere vere.
Da ora in avanti dimenticheremo da dove vengono le equazioni ma le tratteremo come entità astratte dimenticandoci del problema pratico da cui queste provengono:
Non scriveremo più
3kg di pane = 6 euro
ma piuttosto
$$ 3x = 6 $$
.Le soluzioni di una equazione è un insieme di valori che si possono dare alle incognite in odo tale che una volta sostituiti questi valori alle incognite, si ottenga un’identità.
Esempio
Nell’equazione precedente
$$ 3x = 6 $$
.il valore \( x=2 \) è una soluzione per l’equazione
infatti, sostituendo si ottiene
$$ 3 \cdot 2 = 6 $$
che è un’identità.
Ci sono altre soluzione di questa equazione? La risposta è no. Si dimostra infatti che un’equazione di primo grado e una sola incognita ha sempre una e una sola soluzione a meno che non sia un’identità.
Per esempio l’equazione
$$ 3x =3x $$
pur essendo di primo grado a una sola incognita ha chiaramente infinite soluzioni: ogni valore possibile della $x$ è soluzione dell’equazione.
In base al numero di soluzioni possiamo classificare le equazioni. Le equazioni possono essere determinate, indeterminate o impossibili.
Equazioni determinate
Le equazioni determinate sono quelle equazioni che hanno un numero finito di soluzioni.
Ad esempio l’equazione
$$ 3x=6 $$
è determinata dato che ha una sola soluzione. In generale, tutte le equazioni di primo grado a una sola incognita, a meno che non siano identità, sono equazioni determinate.
L’equazione
$$ x^2 = 4 $$
è una equazione determinata infatti ha esattamente due soluzioni \( x = 2 \) e \( x = -2\).
Equazioni indeterminate
Un’equazione si dice indeterminata se l’insieme delle soluzioni contiene un numero infinito di elementi, cioè se le soluzioni dell’equazione sono infinite.
Un esempio di questo tipo sono le identità: tutte le identità sono equazioni indeterminate.
Un altro esempio di equazione indeterminata potrebbe essere la seguente:
$$ x + y = 0 $$
Non è un’identità perchè non vale per ogni valore di \( x \) e \( y \)
Infatti x=1, y=3 (pur essendo valori accettabili) non sono soluzione dell’equazione.
D’altra parte esiste una infinità di valori di \( x \) e \( y \) che sono soluzione dell’equazione: tutte le coppie x e y tale che x = - y
$$ x = 1 , y =1 $$
$$ x = 2 . y = -2 $$
$$ x= 3 , y = 3 $$
$$ \cdots $$
Equazioni impossibili
Per finire parliamo di equazioni impossibili. Una equazione si dice impossibile se non ha nessuna soluzione.
Per esempio
$$ x = x + 5 $$
$$ 2 = 1 $$
$$ x^2 = -1 $$
sono tutte equazioni che non possono avere soluzioni qualunque valore delle incognite.