Abbiamo già visto che cos’è una disequazione, ma sappiamo che ci sono varie tipologie per queste: oggi andremo a studiare le disequazioni irrazionali e il loro metodo di risoluzione.
Le disequazioni irrazionali sono disequazioni nella quale l’incognita si trova sotto il segno di radice, quindi, chiamando \(x\) l’incognita, in almeno uno dei due membri la \(x\) si trova sotto radice. Facciamo qualche esempio:
$$\sqrt{x} \ge 0$$
$$\sqrt[3]{x+2} < x+3$$
$$\sqrt{x}+2 > \sqrt{x+2}$$
sono tutte disequazioni irrazionali.
Come si risolvono le disequazioni irrazionali?
A seconda dei casi si applicano diversi metodi di risoluzione... esaminiamo insieme i casi basilari e andiamo a vedere la loro risoluzione. Tutti gli altri casi saranno riconducibili a questi.
Disequazioni con radice di indice pari
Abbiamo due casi principali in base alla forma della disequazione:
$$\sqrt[n]{f(x)} > g(x)$$
$$\sqrt[n]{f(x)} < g(x)$$
con \(f(x)\) e \(g(x)\) espressioni qualsiasi che hanno come variabile \(x\).
Caso 1
Abbiamo una disequazione della forma:
$$\sqrt[n]{f(x)} > g(x)$$
Come prima cosa verifichiamo la condizione di esistenza della radice \(n\)-esima: sappiamo che una radice di indice pari ha senso se il suo argomento è maggiore o uguale a \(0\), altrimenti la radice perde di significato… imponiamo quindi la condizione
$$f(x) \ge 0$$
Ora abbiamo due strade in base alla positività di \(g(x)\).
Se \(g(x) \ge 0\) possiamo elevare alla potenza \(n\)-esima ambo i membri della disequazione iniziale in modo tale che la radice sparisca. Abbiamo che la disequazione è verificata se avvengono contemporaneamente tutte le condizioni elencate fino ad ora! In breve, dobbiamo risolvere il seguente sistema di disequazioni
$$\begin{cases} f(x)\ge 0\\ g(x)\ge 0 \\ f(x) > [g(x)]^n \end{cases}$$
Se \(g(x) < 0\), invece, abbiamo che l’espressione \(\sqrt[n]{f(x)}\) (è maggiore o uguale a \(0\) perché è una radice di indice pari) è sempre maggiore di \(g(x)\). Quindi, la disequazione
$$\sqrt[n]{f(x)} > g(x)$$
è sempre verificata. Preso nota di questo, è sufficiente imporre, stavolta, il seguente sistema
$$\begin{cases} f(x)\ge 0\\ g(x) < 0 \end{cases}$$
Attenzione!!!
Se \(g(x) < 0\), in generale, non è vero che
$$\sqrt[n]{f(x)} > g(x)$$
implica
$$f(x) > [g(x)]^n$$
Per esempio è vero che
$$\sqrt{2} > -3$$
ma non è vero
$$2 > (-3)^2$$
$$2 > 9$$
La soluzione finale è data dall’unione delle soluzioni dei sistemi che abbiamo trovato precedentemente
$$\begin{cases} f(x)\ge 0\\ g(x)\ge 0 \\ f(x) > [g(x)]^n \end{cases} \cup \begin{cases} f(x)\ge 0\\ g(x) < 0 \end{cases}$$
Osservazione
Nel caso
$$\sqrt[n]{f(x)} \ge g(x)$$
si fa lo stesso ragionamento di prima, mettendo il maggiore o uguale al posto del maggiore. Di nuovo la soluzione sarà data dall’unione delle soluzioni dei sistemi di disequazioni
$$\begin{cases} f(x)\ge 0\\ g(x)\ge 0 \\ f(x) \ge [g(x)]^n \end{cases} \cup \begin{cases} f(x)\ge 0\\ g(x) < 0 \end{cases}$$
Caso 2
Abbiamo una disequazione della forma:
$$\sqrt[n]{f(x)} < g(x)$$
imponiamo anche questa volta la condizione di esistenza di una radice \(n\)-esima pari
$$f(x) \ge 0$$
Ora se \(g(x) \le 0\), la disuguaglianza \(\sqrt[n]{f(x)} < g(x)\) non è mai verificata poiché avremmo che una radice di indice pari (è sempre positiva) è minore di un espressione negativa o nulla!! Questo è impossibile!!
Il caso in cui \(g(x) \le 0\) non comparirà nella soluzione finale.
Se \(g(x) > 0\), elevando come prima alla \(n\)-esima potenza ambo i membri, la soluzione è data dalla soluzione del seguente sistema di disequazioni
$$\begin{cases} f(x)\ge 0\\ g(x)> 0 \\ f(x) < [g(x)]^n \end{cases}$$
che è anche la soluzione finale del problema!
Osservazione
Per il caso del minore o uguale
$$\sqrt[n]{f(x)} \le g(x)$$
consideriamo di nuovo il caso in cui \(g(x) \ge 0\) (mettiamo maggiore o uguale perchè questa volta abbiamo un minore o uguale e NON un minore nella disequazione di partenza). La soluzione della disequazione è data dalla soluzione del sistema
$$\begin{cases} f(x)\ge 0\\ g(x)\ge 0 \\ f(x) \le [g(x)]^n \end{cases}$$
Disequazioni con radice di indice dispari
Abbiamo:
$$\sqrt[n]{f(x)} > g(x)$$
$$\sqrt[n]{f(x)} < g(x)$$
con \(f(x)\) e \(g(x)\) espressioni qualsiasi che hanno come variabile \(x\).
Osserviamo però che per una radice dispari non bisogna imporre condizioni di esistenza, poiché esiste per ogni numero reale. Possiamo elevare sempre per la potenza \(n\)-esima ambo i membri delle disequazioni! Le soluzioni di queste, allora. saranno rispettivamente date dalla risoluzione delle seguenti disequazioni
$$f(x) > [g(x)]^n$$
$$f(x) < [g(x)]^n$$
E lo stesso vale per il maggiore e il minore o uguale.