Molti problemi nel mondo del mercato o della compravendita si risolvono facilmente attraverso processi matematici, come avviene ad esempio per il calcolo sopra e sotto cento. Frequentemente, infatti, ci capita di voler mettere in relazione una quantità complessiva con una sua quantità parziale. Facciamo subito un esempio per capire bene la situazione: su un 1 libro, composto da 300 pagine, ho letto 50 pagine, voglio sapere quanto del libro ho letto in percentuale?
Un primo passo elementare è di semplificare il problema usando le frazioni, un argomento elementare a cui ci hanno abituato fin da quando eravamo piccoli! Perciò, considerando la totalità delle pagine del libro, mettiamo in relazione la parte che abbiamo letto con quella totale:
- al numeratore mettiamo le 50 pagine lette sul totale di 300 pagine del libro.
- al denominatore la totalità delle pagine di cui è composto il libro.
Abbiamo così la frazione:
$$\frac{50}{300}=\frac{1}{6}$$
Possiamo dire che abbiamo letto \(\frac{1}{6}\) del libro! Però il problema iniziale ci richiede la percentuale delle pagine e non la frazione, come facciamo a questo punto? Sappiamo che nella percentuale la quantità totale è rappresentata dal 100%, ci viene naturale usare allora le proporzioni:
$$\{totale\>pagine\>in\>percentuale\}:\{pagine\>lette\>in\>percentuale\}=\{totale\>pagine\}:\{pagine\>lette\}$$
cioè
$$100:x=300:50$$
con \(x\) l’incognita richiesta dal problema. Usando le proprietà delle proporzioni abbiamo:
$$x=\frac{100 \cdot 50}{300}=16.7$$
abbiamo finalmente trovato che abbiamo letto il 16.7% del libro.
In generale abbiamo la formula:
$$100:R=T:P$$
dove \(R\) sta per ragione o tasso percentuale, \(T\) per totale e \(P\) per parte.
Con questa proporzione possiamo:
- trovare \(R\) conoscendo il valore di \(T\) e \(P\) (come nell’esempio);
- trovare \(T\) conoscendo il valore di \(R\) e \(P\);
- trovare \(P\) conoscendo il valore di \(R\) e \(T\);
Ma spesso e volentieri non conosciamo il totale effettivo su cui applichiamo la proporzione e il valore numerico delle parte è anche esso incognito (ovviamente non conosciamo il totale effettivo ma questo si può dedurre con delle formule altrimenti sarebbe proprio impossibile risolvere questo tipo di problemi!). Qui ci è utile costruirci la tabella
| Formula | Percentuale | Valore |
Dopo aver completato la tabella con i dati di uno questi problemi è possibile impostare la proporzione e risolverlo. A seconda del problema, abbiamo:
- Problema sotto cento;
- Problema sopra cento;
Vediamo insieme come usare la tabella per questi due problemi con degli esempi.
Problema sotto cento
Il prezzo di un automobile viene scontato di 5000 euro. Sappiamo, inoltre, che è stata venduta al 70% del prezzo di listino effettivo. Calcolare il prezzo effettivo che il cliente ha pagato.
Per prima cosa dobbiamo trovare la formula associata al problema! Intuitivamente, abbiamo
$$\text{\{prezzo di listino\}-\{sconto\}=\{prezzo pagato\}}$$
Mettiamo la formula nella prima colonna della tabella, precedentemente presentata, in questo modo:
| Formula | Percentuale | Valore |
| Prezzo di listino | ||
| - Sconto | ||
| = Prezzo pagato |
Mettiamo le percentuali… sappiamo che il prezzo di listino (sarebbe il totale) rappresenta il 100% come abbiamo spiegato all’inizio e che il prezzo pagato (la parte) è il 70% del prezzo complessivo
| Formula | Percentuale | Valore |
| Prezzo di listino | 100% | |
| - Sconto | ||
| = Prezzo pagato | 70% |
Applicando la formula alle percentuali possiamo ricavare la percentuale associata allo sconto!
| Formula | Percentuale | Valore |
| Prezzo di listino | 100% | |
| - Sconto | 30% | |
| = Prezzo pagato | 70% |
Infine conosciamo solo il prezzo scontato! Rappresentando il prezzo pagato con l’incognita \(X\) abbiamo
| Formula | Percentuale | Valore |
| Prezzo di listino | 100% | |
| - Sconto | 30% | 5000 |
| = Prezzo pagato | 70% | X |
Ora la proporzione è data dalla percentuale e dal valore nella riga “Sconto” e dalla percentuale e dal valore nella riga “Prezzo pagato”:
$$30:5000=70:X$$
e da qui il prezzo pagato è dato da
$$X=\frac{5000\cdot 70}{30}=11666.67$$
Problema sopra cento
Un container di vestiti è stato venduto al prezzo di 30000 euro ed ha fruttato un guadagno pari al 20% del costo di acquisto. Calcolare il valore numerico del guadagno.
Come prima troviamo una formula e mettiamola nella prima colonna della tabella…
$$\text{\{Ricavo\}-\{Costo\}=\{Guadagno\}}$$
| Formula | Percentuale | Valore |
| Ricavo | ||
| - Costo | ||
| = Guadagno |
Stavolta il totale è rappresentato dal costo di acquisto e la parte dal guadagno! Quindi la percentuale associata al ricavo sarà:
$$100+20=120$$
Sostituendo infine tutti i dati abbiamo e chiamando \(X\) l’incognita associata al valore del guadagno:
| Formula | Percentuale | Valore |
| Ricavo | 120% | 30000 |
| - Costo | 100% | |
| = Guadagno | 20% | X |
Avremo che la proporzione è data dalla percentuale e dal valore nella riga “Ricavo” e dalla percentuale e dal valore nella riga “Guadagno”:
$$120:30000=20:X$$
e da qui il guadagno è dato da
$$X=\frac{30000\cdot 20}{120}=5000$$