Il baricentro e il centro di massa ci aiutano a scoprire come si distribuiscono in media rispettivamente un insieme finito di punti e un sistema discreto di punti con relative masse associate. Questi si usano molto in fisica per capire come un sistema di punti o un corpo rigido si muovono nello spazio, studiando il moto sul baricentro o sul centro di massa. Andiamo a scoprire insieme come sono definiti, facendo degli esempi per fissare meglio il concetto.
Baricentro
Il baricentro o centro geometrico di un sistema di punti nel piano cartesiano è il punto dato dalla media aritmetica delle coordinate dei punti, di cui il sistema è composto. Vediamo come descriverlo in formule!
Fissiamo \(n\) punti nel piano cartesiano
$$P_1=(x_1, y_1),\> P_2=(x_2, y_2),….,\> P_{n-1}=(x_{n-1}, y_{n-1}),\> P_n=(x_n, y_n)$$
allora il baricentro sarà dato dal punto \(P_B\) avente come ascisse e come ordinate
$$P_B=(x_B,y_B)$$
dove \(x_B\) e \(y_B\) sono rispettivamente la media aritmetica delle coordinate nelle ascisse e delle coordinate nelle ordinate dei punti fissati
$$P_B=(x_B,y_B)=\biggl( \frac{x_1+ x_2 +…+ x_{n-1} + x_n }{n},\frac{ y_1+ y_2 +…+ y_{n-1} + y_n }{n}\biggl)$$
Baricentro di due punti
Se riduciamo il caso generale a un sistema composto da due punti
$$P_1=(x_1, y_1),\quad P_2=(x_2, y_2)$$
Attenendoci alla definizione data, avremo
$$P_B=(x_B,y_B)= \biggl(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\biggl)$$
Il calcolo del baricentro, quindi, in un sistema composto da due punti si riduce al calcolo del punto medio dei due punti: la definizione di punto medio non è altro che un sotto-caso della definizione di baricentro.
Esempio
- Siano \(A\), \(B\) e \(C\) tre punti sul piano cartesiano così definiti
$$A=(-3, 2),\quad B=(-5, -4) ,\quad C=(7, 1)$$
Calcolare il baricentro dei tre punti.
Svolgimento:
Basta applicare le formule che abbiamo elencato precedentemente. La media aritmetica per le ascisse è uguale a
$$x_B=\frac{-3-5+7}{3}=-\frac{1}{3}$$
per le ordinate invece
$$y_B=\frac{2-4+1}{3}=-\frac{1}{3}$$
Concludendo il baricentro è il punto individuato dalle seguenti coordinate
$$P_B=\biggl(-\frac{1}{3},-\frac{1}{3}\biggl)$$
Centro di massa
Il centro di massa di un sistema di punti, a cui a ognuno viene associata una massa, è il punto dato dalla media ponderata delle coordinate dei punti con relativa massa. Siano dunque
$$P_1=(x_1, y_1),\> P_2=(x_2, y_2),….,\> P_{n-1}=(x_{n-1}, y_{n-1}),\> P_n=(x_n, y_n)$$
\(n\) punti del piano cartesiano e
$$m_1,\>m_2,….,\>m_{n-1},\>m_n$$
le relative masse associate.
La media ponderata delle rispettive coordinate è uguale a
$$x_{CM}=\frac{m_1x_1+m_2x_2+….+m_{n-1}x_{n-1}+m_nx_n}{m_1+m_2+….+m_{n-1}+m_n}$$
$$y_{CM}=\frac{m_1y_1+m_2y_2+….+m_{n-1}y_{n-1}+m_ny_n}{m_1+m_2+….+m_{n-1}+m_n}$$
Infine, abbiamo il nostro centro di massa
$$P_{CM}=( x_{CM}, y_{CM})=\biggl(\frac{m_1x_1+m_2x_2+….+m_{n-1}x_{n-1}+m_nx_n}{m_1+m_2+….+m_{n-1}+m_n}, \frac{m_1y_1+m_2y_2+….+m_{n-1}y_{n-1}+m_ny_n}{m_1+m_2+….+m_{n-1}+m_n}\biggl)$$
Da questa formula generale si ricavano facilmente anche quelle del caso di due punti o di tre punti ecc...
Osservazione
Se \(m_1=m_2=….=m_n\) la formula si riconduce a quella del baricentro, infatti chiamando con la lettera \(m\) tutte le masse associate (poiché le abbiamo poste tutte uguali) abbiamo che
$$P_{CM}=\biggl(\frac{mx_1+mx_2+….+mx_{n-1}+mx_n}{m+m+….+m+m}, \frac{my_1+my_2+….+my_{n-1}+my_n}{m+m+….+m+m}\biggl)=$$
Raccogliendo \(m\) ai numeratori e svolgendo la somma ai denominatori avremo
$$=\biggl(\frac{m(x_1+x_2+….+x_{n-1}+x_n)}{nm}, \frac{m(y_1+y_2+….+y_{n-1}+y_n)}{nm}\biggl)=$$
$$=\biggl(\frac{x_1+x_2+….+x_{n-1}+x_n}{n}, \frac{y_1+y_2+….+y_{n-1}+y_n}{n}\biggl)=P_B$$
Esempio
- Siano \(A\), \(B\) e \(C\) tre punti sul piano cartesiano così definiti
$$A=(-3, 2),\quad B=(-5, -4) ,\quad C=(7, 1)$$
con relativa massa associata
$$m_A=3g,\quad m_B=5g,\quad m_C=2g$$
Calcolare il centro di massa dei tre punti.
Svolgimento:
La media ponderata per le ascisse è uguale a
$$x_{CM}=\frac{-3\cdot 3g -5\cdot 5g +7\cdot 2g}{3g+5g+2g}$$
per le ordinate invece
$$y_{CM}=\frac{2\cdot 3g -4\cdot 5g +1\cdot 2g}{3g+5g+2g }$$
Notiamo prima di tutto che la \(g\) (indica che stiamo misurando in grammi) si elide sia nelle ascisse che nelle ordinate
$$x_{CM}=\frac{-3\cdot 3 -5\cdot 5 +7\cdot 2}{3+5+2}$$
$$y_{CM}=\frac{2\cdot 3 -4\cdot 5 +1\cdot 2}{3+5+2 }$$
Facendo ora i conti il centro di massa viene uguale a
$$P_{CM}=\biggl(-2,-\frac{6}{5}\biggl)$$