Il teorema di Pitagora fa parte della geometria euclidea e serve per stabilire la relazione fondamentale che c’è tra i lati di un triangolo rettangolo.
Ci sono vari enunciati per il teorema di Pitagora, così come varie sono le sue applicazioni. In questo articolo vedremo un paio di definizioni del teorema di Pitagora accompagnate dalle formule che servono per risolvere i problemi relativi ai triangoli rettangoli.
La creazione del teorema di Pitagora viene solitamente attribuita al filosofo e matematico Pitagora, da cui prende il nome. La verità è che l’enunciato del teorema di Pitagora (ma non la sua dimostrazione) era già conosciuto da babilonesi, cinesi e indiani in tempi antichi. La dimostrazione, invece, è da collocarsi in un momento successivo a Pitagora.
Teorema di Pitagora: enunciato
Vediamo ora l’enunciato del teorema di Pitagora:
In ogni triangolo rettangolo l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti.
in alternativa è valido anche:
In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente all’unione dei quadrati costruiti sui cateti.
Il teorema di Pitagora viene considerato come un fondamentale risultato inerente il triangolo rettangolo della geometria. A cosa serve il teorema di Pitagora? La sua importanza è data dal fatto che esso permette di ricavare, conoscendo la misura di uno dei tre lati (l’ipotenusa o uno dei cateti), anche quella degli altri due.
Una volta enunciato il teorema di Pitagora e spiegato a cosa serve, qual è la traduzione di tutto questo a livello di formule e calcoli?
Vediamo insieme le formule del teorema di Pitagora e alcuni esempi per calcolare applicandolo.
Teorema di Pitagora: le formule
Quali sono le formule del teorema di Pitagora? Dati gli enunciati che abbiamo precedentemente esposto, è possibile ricavare le formule direttamente da lì.
L’area dei quadrati costruiti su ipotenusa (i^2) e sui cateti (c1^2, c2^2) si ottiene elevando al quadrato il dato relativo, per cui avremo:
$$ i^2 = c1^2 + c2^2 $$
Una volta compresa questa relazione tra i dati è possibile ricavare velocemente anche le formule inverse del teorema di Pitagora, che sono:
$$ c1^2 = i^2 - c2^2 $$
$$ c2^2 = i^2 - c1^2 $$
Posto ciò, per ricavare le formule del teorema di Pitagora sarà sufficiente considerare le precedenti uguaglianze e estrarre la radice quadrata. Così facendo otterremo:
$$ i = \sqrt {(c1^2 + c2^2)} $$
$$ c1 = \sqrt {(i^2 - c2^2)} $$
$$ c2 = \sqrt {(i^2 - c1^2)} $$
Appare così evidente come, in una problema in cui si hanno a disposizione i dati relativi a due lati del triangolo, il terzo sia ottenibile molto velocemente.
Esempio applicazione teorema di Pitagora
Abbiamo un triangolo rettangolo abbiamo la lunghezza dell’ipotenusa (i = 6 cm) e di uno dei due cateti (c1 = 3 cm). Come calcolare l’altro cateto (c2) col teorema di Pitagora?
Viste le precedenti formule enunciate si procederà:
$$ c2 = \sqrt {(6^2 - 3^2)} = \sqrt {(36 - 9)} = \sqrt {27} = 5,2 cm $$