In questa lezione parliamo di nuove operazioni: la radice quadrata e la radice cubica. Vedremo, per finire, come queste operazioni si possano generalizzare con il concetto di radice n-esima.

La radice quadrata

La radice quadrata di un numero è quel numero che elevato alla seconda restituisce il numero di partenza.
La radice quadrata di un numero $ a $ si indica con la seguente notazione

$$ \sqrt{a} \qquad \mbox{o anche} \qquad \sqrt[2]{a} .$$


Il numero $a $ viene detto radicando

In formule, la radice quadrata di un numero, per definizione, gode della seguente
proprietà:

$$ (\sqrt{a}) ^2 = a $$

Esempio
Vediamo subito alcuni esempi di radici quadrate di alcuni numeri.
La radice quadrata di 25 è

$$ \sqrt{25} = 5 $$


Infatti abbiamo che

$$ 5^2 = 5 \times 5 = 25 $$

La radice quadrata di 16 è

$$ \sqrt{16} = 4 $$


Infatti abbiamo che

$$ 4^2 = 4 \times 4 = 16 $$

Osservazione
Non è detto che la radice quadrata di un numero intero sia un numero intero, ad esempio abbiamo che

$$ \sqrt{2} = 1,41421 \dots $$


Non solo non è un numero intero ma non è neanche un numero decimale periodico: continua all’infinito senza mai ripetersi. Siamo davanti ad un primo esempio di numero non razionale (irrazionale).

L’irrazionalità di $ \sqrt{2} $ fu dimostrata già nell’antica Grecia grazie dalla scuola di Pitagora, utilizzando il metodo di dimostrazione per assurdo. Fu una scoperta che sconvolse le convinzioni dell’epoca: si credeva infatti che tutti i numeri fossero decimali periodici, o equivalentemente (come osservato qualche lezione fa), razionali, cioè esprimibili come rapporto di due numeri interi.
Tanto fu sconvolgente questa scoperta che fu proibito ai membri della setta di rivelare ad altri queste scoperte considerate blasfeme e sconcertanti.

Quadrati perfetti

I numeri che hanno radice quadrata intera come 16 e 25 vengono detti quadrati perfetti ma verranno esaminati in dettaglio nelle prossime lezioni.

La radice cubica

La radice cubica di un numero è quel numero che elevato alla terza restituisce il numero di partenza.
La radice cubica di un numero $ a $ si indica con la seguente notazione

$$ \sqrt[3]{a} .$$

In formule, la radice cubica di un numero, per definizione, gode della seguente
proprietà:

$$ (\sqrt[3]{a} )^3 = a $$

Esempio
Vediamo subito alcuni esempi di radici cubiche di alcuni numeri.
La radice cubica di 8 è

$$ \sqrt[3]{8} = 2 $$


Infatti abbiamo che

$$ 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8 $$


I numeri che hanno radice cubica intera come 8 vengono detti cubi perfetti.

La radice n-esima
In generale la radice n-esima di un numero è quel numero che elevato alla $ / n $ restituisce il numero di partenza.
La radice n-esima di un numero $ a $ si indica con la seguente notazione

$$ \sqrt[n]{a} .$$

In formule, la radice cubica di un numero, per definizione, gode della seguente
proprietà:

$$ (\sqrt[n]{a}) ^n = a $$


Il numero $ \ a $ viene sempre detto radicando
Il numero $ \ n $ viene detto indice della potenza.

In questo senso:

  • la radice quadrata non è altro che la radice n-esima con indice n=2
  • la radice cubica non è altro che la radice n-esima con indice n=3.

Per concludere osserviamo che per definizione la radice n-esima non è altro che l’operazione inversa rispetto all’operazione di elevamento a n-esima potenza: se eleviamo un numero alla n e poi ne facciamo la potea riotteniamo il numero iniziale.