Nelle scorse lezioni abbiamo parlato di nuove operazioni: la radice quadrata e la radice cubica e abbiamo visto insieme quali sono le proprietà di cui gode l’operazione di radice. In una delle lezioni precedenti abbiamo anche visto un algoritmo per calcolare la radice quadrata di un numero. In questa lezione vedremo un altro metodo per il calcolo della radice quadrata di un quadrato perfetto utilizzando le proprietà viste nella lezioni precedenti.
La radice quadrata
La radice quadrata di un numero è quel numero che elevato alla seconda restituisce il numero di partenza.
La radice quadrata di un numero $ a $ si indica con la seguente notazione
$$ \sqrt{a} \qquad \mbox{o anche} \qquad \sqrt[2]{a} .$$
Il numero $a $ viene detto radicando
In formule, la radice quadrata di un numero, per definizione, gode della seguente
proprietà:
$$ (\sqrt{a}) ^2 = a $$
Proprietà della radice
Prodotto e il rapporto di radicali con lo stesso indice
Il prodotto di due radici con lo stesso indice è una radice con lo stesso indice che ha come radicando, il prodotto dei radicandi delle due radici di partenza:
$$ \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b} $$
Il rapporto di due radici con lo stesso indice è una radice con lo stesso indice che ha come radicando, il rapporto dei radicandi delle due radici di partenza:
$$ \sqrt{a} : \sqrt{b} = \sqrt{a : b} $$
Trasporto di un fattore fuori dal segno di radice
Per il passaggio di un fattore fuori dal segno di radice abbiamo la seguente formula:
$$ \sqrt[n]{a^{nq} \times b} = a^{q} \times \sqrt[n]{ b} $$
Esempio
$$ \sqrt[2]{24} \sqrt[n]{8 \times 3} = \sqrt[2]{24} \sqrt[n]{2^3 \times 3} = \sqrt[2]{24} $$
$$ \sqrt[n]{2^2 \times 2 \times 3} = sqrt[n]{2^2 \times 6} = 2 sqrt[n]{6}$$
La radice quadrata di un quadrato perfetto
Le proprietà appena ricordate ci permettono di fare due cose:
- Capire se un numero è un quadrato perfetto
- Calcolarne la radice quadrata
Vediamo come.
Supponiamo di avere un numero $ \ n $, la prima cosa da fare è scomporre in fattori primi il numero. A questo punto possono avere due casi:
- Se tutti i numeri compaiono con potenza pari allora il numero è un quadrato perfetto e la sua radice non sarà altro che il numero formato dagli stessi fattori elevati alla metà dell’esponente originale.
- Se esiste un fattore che ha esponente dispari allora il numero non è un quadrato perfetto e la sua radice non sarà un intero. Possiamo comunque semplificare la sua radice utilizzando la proprietà di trasporto di un fattore fuori dal segno di radice.
Esempio
Il numero 900 è un quadrato perfetto infatti nella sua scomposizioni in fattori primi:
$$ 900 = 2^2 \times 3^2 \times 5^2 $$
tutti i fattori sono elevati alla seconda. La radice di 900 sarà uguale a
$$ \sqrt{900} = 2^{2 :2 } \times 3^ {2: 2} \times 5^{2 : 2 } = 2 \times 3 \times 5 = 30 $$
Infatti
$$ 30^2 = 30 \times 30 = 900 $$
Questo è stato possibile grazie alla proprietà di trasporto di un fattore fuori dal segno di radice e grazie alle proprietà delle potenze:
$$ \sqrt{900} = \sqrt[2]{900} = \sqrt{2^2 \times 3^2 \times 5^2} = \sqrt[2{(2 \times 3 \times 5 )^2}= \sqrt{30^2 \times 1} = 30^{2:2} \times \sqrt{1} = 30 $$
Una cosa simile si piò fare anche se il numero non è un quadrato perfetto. Consideriamo il numero 1800
nella sua scomposizioni in fattori primi:
$$ 1800 = 2^3 \times 3^2 \times 5^2 $$
non tutti i fattori sono elevati ad un numero pari.
$$ \sqrt{1800} = \sqrt[2]{1800} = \sqrt{2^3 \times 3^2 \times 5^2} = \sqrt[2{(2 \times 3 \times 5 )^2 \times 2 }= \sqrt{30^2 \times 2} = 30^{2:2} \times \sqrt{2} = 30 \times \sqrt{2} $$
adesso possiamo calcolare questo ultimo numero usando le tavole numeriche per trovare il valore approssimato di
$$ \sqrt{2} \approx 1,41 $$
Si ha quindi che
$$ \sqrt{1800} \approx 30 \times 1,41 = 42,3 .$$