Nella scorsa lezione abbiamo parlato di nuove operazioni: la radice quadrata e la radice cubica e abbiamo visto come queste operazioni si possano generalizzare con il concetto di radice n-esima. In questa lezione vedremo come calcolare la radice quadrata di un numero.
La radice quadrata di un numero è quel numero che elevato alla seconda restituisce il numero di partenza.
La radice quadrata di un numero $ a $ si indica con la seguente notazione
$$ \sqrt{a} \qquad \mbox{o anche} \qquad \sqrt[2]{a} .$$
Il numero $a $ viene detto radicando
In formule, la radice quadrata di un numero, per definizione, gode della seguente
proprietà:
$$ (\sqrt{a}) ^2 = a $$
Algoritmo per il calcolo della radice quadrata
Nella scorsa lezione abbiamo calcolato a occhio le radici quadrate di un quadrato perfetto. In generale non è sempre così semplice trovare la radice di un numero.
Vediamo insieme un algoritmo applicandolo ad un esempio:
Supponiamo di voler calcolare
$$ \sqrt{636804} $$
Come prima cosa dividiamo il numero in gruppi di 2 cifre partendo dalle unità (da destra)
$$ 63.68.04 $$
1) Partiamo dal numero più a destra. Troviamo la radice del quadrato perfetto più vicino alla coppia più a sinistra
il quadrato perfetto più vicino a 63 è
$$ 7 \times 7 = 49 $$
( $ 8 \times 8 = 64 $ è troppo grande)
Mettiamo il 7 da parte: sarà la cifra più grande del risultato.
2) A questo punto ricominciamo consideriamo il numero formato dalla differenza tra 63 e 49 affiancato dalla seconda coppia di numeri:
$$ 63 - 49 = 14 $$
Il nuovo numero sarà
$$ 14 68 $$
Dobbiamo trovare la cifra $ \ c $ più grande tale che affiancata a 7 x 2 = 14 moltiplicata per c:
$$ 14c \times c $$
si avvicina di più, ma non supera $ 14 68 $.
tale $ \ c $ è 9 infatti
$$149 \times 9 = 1341 $$
Mettiamo il 9 da parte: sarà la seconda cifra più grande del risultato.
3) A questo punto facciamo gli stessi passaggi che abbiamo fatto al passaggio 2:
Calcoliamo
$$1468 - 1341 = 127$$
e affianchiamo a questo numero la priossima coppia di numeri
Abbiamo il numero
$$127 04.$$
Dobbiamo trovare la cifra $ \ c $ più grande tale che affiancato al doppio del nostro risultato parziale a 79 x 2 = 158 e moltiplicato per c:
$$ 158c \times c $$
si avvicina di più, ma non supera $ 12704 $.
tale $ \ c $ è 8 infatti
$$1588 \times 8 = 12704 $$
Mettiamo il 8 da parte: sarà la terza cifra più grande del risultato.
A questo punto abbiamo finito perché la differenza tra
12704 - 12704 = 0
e non abbiamo un’altra coppia da affiancare.
Infatti
$$ 798 \times 798 = 636804 $$
Abbiamo
$$ \sqrt{636804} = 798 $$
e 636804 è un quadrato perfetto.
Nelle prossime lezioni vedremo invece come calcolare approssimativamente la radice di un numero nel caso in cui questo numero non sia un quadrato perfetto basato sul metodo qui spiegato. Vedremo inoltre un metodo più veloce per controllare se un numero è un quadrato perfetto e per calcolarne la radice.
L’algoritmo qui proposto non è molto semplice, in effetti per calcolare la radice quadrata di un numero si preferisce usare la calcolatrice o utilizzare delle tabelle numeriche.