Abbiamo già visto nei precedenti articoli il concetto di potenza, le proprietà delle potenze ed alcuni esercizi sulle espressioni con le potenze. Vediamo insieme ulteriori esercizi sulle espressioni, sfruttando al meglio le proprietà viste per arrivare alle soluzioni. Diamo di seguito una serie di esercizi...
Esercizio 1
Risolvere la seguente espressione con le potenze, applicando, ove è possibile, le loro proprietà:
$$\{[(24-7\cdot 3)^6 : (-3)^2]^3 : 3^6\}:[13-(16+6)]^2 -43+7$$
Svolgimento:
Seguendo le regole di priorità delle espressioni algebriche, svolgiamo prima le operazioni nelle parentesi tonde. In particolare, nella prima parentesi tonda dell’espressione facciamo il prodotto tra \(7\) e \(3\)
$$=\{[(24-21)^6 : (-3)^2]^3 : 3^6\}:[13-(16+6)]^2 -43+7=$$
Ora procediamo con la somme rimanenti nelle stesse parentesi
$$=\{[(3)^6 : (-3)^2]^3 : 3^6\}:[13-(22)]^2 -43+7=$$
Le prossime operazioni da svolgere sono nelle parentesi quadre. Osservando che
$$(-3)^2=9=3^2$$
Possiamo sostituire nell’espressione
$$=\{[(3)^6 : (3)^2]^3 : 3^6\}:[13-(22)]^2 -43+7=$$
Così facendo possiamo applicare la proprietà di divisione di due potenze con la stessa base
$$=\{[(3)^{6 -2}]^3 : 3^6\}:[13-(22)]^2 -43+7=$$
$$=\{[(3)^{4}]^3 : 3^6\}:[13-(22)]^2 -43+7=$$
Applicando ora la proprietà della potenza di una potenza per la prima parentesi quadra e svolgendo i calcoli per la seconda
$$=\{(3)^{4\cdot 3} : 3^6\}:[-9]^2 -43+7=$$
$$=\{(3)^{12} : 3^6\}:[-9]^2 -43+7=$$
Non ci resta che applicare di nuovo la proprietà nelle parentesi graffe
$$=(3)^{6} :[-9]^2 -43+7=$$
Osserviamo come prima che
$$[-9]^2=81=3^4$$
Quindi l’espressione diventa
$$=(3)^{6} :[3]^4 -43+7=$$
e riapplicando la stessa proprietà
$$=(3)^{2} -43+7=$$
Non ci resta che svolgere gli ultimi calcoli:
$$=9 -43+7= -27$$
Esercizio 2
Risolvere la seguente espressione frazionaria con le potenze, applicando, ove è possibile, le loro proprietà:
$$\biggl[\biggl(\frac{2}{3}\biggl)^4 : \biggl(\frac{4}{3}\biggl)^2\biggl]^2+\biggl[\biggl(\frac{1}{5}\biggl)^{30} : \biggl(\frac{1}{5}\biggl)^{28}\biggl]\cdot \biggl(\frac{5}{9}\biggl)- \frac{1}{3}$$
Svolgimento:
Procediamo sempre con le solite priorità nelle espressioni… notiamo, prima di tutto, che nella prima parentesi quadra non possiamo applicare le proprietà delle potenze poiché non abbiamo la stessa base ai membri della divisione, mentre nella seconda parentesi quadra possiamo procedere con la solita proprietà
$$=\biggl[\biggl(\frac{16}{81}\biggl) : \biggl(\frac{16}{9}\biggl)\biggl]^2+\biggl[\biggl(\frac{1}{5}\biggl)^{30 -28}\biggl]\cdot \biggl(\frac{5}{9}\biggl)- \frac{1}{3}=$$
$$=\biggl[\biggl(\frac{16}{81}\biggl) : \biggl(\frac{16}{9}\biggl)\biggl]^2+\biggl[\biggl(\frac{1}{5}\biggl)^{2}\biggl]\cdot \biggl(\frac{5}{9}\biggl)- \frac{1}{3}=$$
Facciamo la solita divisione tra frazioni
$$=\biggl[\biggl(\frac{16}{81}\biggl) \cdot \biggl(\frac{9}{16}\biggl)\biggl]^2+\biggl[\biggl(\frac{1}{5}\biggl)^{2}\biggl]\cdot \biggl(\frac{5}{9}\biggl)- \frac{1}{3}=$$
$$=\biggl[\biggl(\frac{1}{9}\biggl) \biggl]^2+\biggl[\biggl(\frac{1}{5}\biggl)^{2}\biggl]\cdot \biggl(\frac{5}{9}\biggl)- \frac{1}{3}=$$
Svolgiamo, quindi, la potenza per la prima e la seconda parentesi quadra
$$=\frac{1}{81}+\biggl[\biggl(\frac{1}{25}\biggl)\biggl]\cdot \biggl(\frac{5}{9}\biggl)- \frac{1}{3}=$$
Tocca, ora, alla moltiplicazione tra frazioni
$$=\frac{1}{81}+\frac{1}{45}- \frac{1}{3}=$$
Notando che \(m.c.m(81,45,3)=405\) e facendo gli ultimi conti abbiamo la soluzione dell’espressione:
$$=\frac{5+9-135}{405}=-\frac{121}{405}$$
Esercizio 3
Risolvere le seguenti espressioni tra potenze usando le loro proprietà:
$$i)\>(4)^{\frac{2}{5}}\cdot (2)^{\frac{1}{3}}$$
$$ii)\>(9)^{\frac{2}{3}}:(3)^{\frac{1}{7}}$$
Svolgimento:
i) Per poter usare la proprietà del prodotto tra due potenze aventi la stessa base, facciamo questa osservazione
$$(4)^{\frac{2}{5}}=(2^2)^{\frac{2}{5}}$$
Quindi l’espressione mi diventa
$$=(2^2)^{\frac{2}{5}}\cdot (2)^{\frac{1}{3}}=$$
Applichiamo la potenza di una potenza e semplifichiamo l’esponente
$$=(2)^{2 \cdot \frac{2}{5}}\cdot (2)^{\frac{1}{3}}=$$
$$=(2)^{\frac{4}{5}}\cdot (2)^{\frac{1}{3}}=$$
e ora il possiamo applicare la proprietà che volevamo
$$=(2)^{\frac{4}{5}+\frac{1}{3}}=2^{\frac{12+5}{15}}=2^{\frac{17}{15}}$$
ii) Come al punto precedente, facciamo prima un osservazione
$$(9)^{\frac{2}{3}}=(3^2)^{\frac{2}{3}}$$
L’espressione diventa in questo caso
$$=(3^2)^{\frac{2}{3}}:(3)^{\frac{1}{7}}=$$
Di nuovo usando le proprietà delle potenze
$$=(3)^{2 \cdot\frac{2}{3}}:(3)^{\frac{1}{7}}=$$
$$=(3)^{\frac{4}{3}}:(3)^{\frac{1}{7}}=$$
$$=(3)^{\frac{4}{3}-\frac{1}{7}}=$$
$$=(3)^{\frac{28-3}{21}}=3^{\frac{25}{21}}$$