In questa lezione parliamo in maniera più approfondita dell’operazione di elevamento a potenza naturale positiva e negativa. Scopriamo in che modo svolgere tutti i passaggi in modo semplice, cercando di comprendere anche con alcuni piccoli esempi in che modo procedere con l’elevamento a potenza.
Elevamento a potenza con esponente positiva
L’operazione di elevamento a potenza è strettamente legata a quella di moltiplicazione. Infatti elevare un numero alla \(p\) non significa altro se non moltiplicare il numero iniziale \(p\) volte con se stesso.
In sostanza possiamo dire che l’operazione di elevamento a potenza non è altro per scrivere una serie di moltiplicazioni, in una maniera più compatta.
Per essere più precisi cerchiamo di dare una definizione formale, valide per tutti:
La potenza p-esima di un numero a, il numero che si ottiene moltiplicando a con se stesso p volte. Questo numero si indica con la scrittura.
$$ a^p.$$
\(a\) viene detta base,
\(p\) viene detto esponente.
Esempio
Ora che abbiamo visto la definizione di potenza vediamo con qualche esempio di comprendere bene la questione elevamento.
Supponiamo di voler elevare alla quarta il numero 2 vogliamo cioè calcolare il valore
$$ 2^4 $$
Questo è equivalente a moltiplicare il numero 2 quattro volte con se stesso:
$$ 2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16 $$
È chiaro che il simbolo di elevamento a potenza non sembra così necessario se l’esponente \(p\) non è particolarmente grande, risulta indispensabile se diventa grande, come nel prossimo esempio.
Supponiamo infatti di voler elevare 3 alla 10000, se non volessimo usare l’operazione di elevamento a potenza, per scrivere la stessa operazione, dovremmo scrivere il numero 3 e l’operazione di moltiplicazione 10000 volte, il che di certo non è molto pratico.
Come abbiamo accennato nelle scorse lezioni, anche le frazioni possono essere elevate a potenza e il significato dell’operazione non cambia: si tratta di fare delle moltiplicazioni ripetute.
Esempio
Supponiamo di voler elevare alla terza la frazione
$$ \frac{2}{3} $$
Si ha:
$$ \bigg ( \frac{2}{3} \bigg )^3 = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{2\times 2 \times 2}{3 \times 3 \times 3} = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27} $$
Cioè il risultato di una frazione da elevare alla terza è una frazione che ha lo stesso numeratore elevato alla terza e lo stesso denominatore elevato alla terza.
Elevamento a potenza con esponente negativo
L’operazione di elevamento a potenza con esponente negativo è strettamente legato alla operazione di elevamento a potenza con esponente positivo.
Ricordiamo che ogni numero (naturale) può essere visto come un numero razionale, sotto forma di frazione; infatti preso il numero naturale \(a\) si ha:
$$ a = \frac{a}{1} .$$
Detto questo ci concentriamo sul caso delle frazioni.
Il risultato dell’operazione di elevamento a potenza per un esponente negativo equivale a elevare per un esponente positivo la frazione inversa:
$$ \bigg ( \frac{a}{b} \bigg )^{-n} = \bigg ( \frac{b}{a} \bigg )^{n} .$$
Esempio
Supponiamo di voler elevare alla -3 la frazione
$$ \frac{3}{2} $$
Si ha:
$$ \bigg ( \frac{3}{2} \bigg )^{-3} = \bigg ( \frac{2}{3} \bigg )^3 = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{2\times 2 \times 2}{3 \times 3 \times 3} = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27} $$
Supponiamo di voler elevare alla -2 la frazione
$$ 4 = \frac{4}{1} $$
Si ha:
$$ \bigg ( \frac{4}{1} \bigg )^{-2} \bigg ( \frac{1}{4} \bigg)^2= \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1\times 1}{4 \times 4} = \frac{1^2}{4^2} = \frac{1}{16} $$
Complicando un po’ le cose ci possiamo chiedere se ha senso elevare un numero per una frazione. La risposta è sì, ma per capire quello che succede in questa generalizzazione, abbiamo bisogno del concetto di radice di un numero, di cui non abbiamo ancora parlato. Nella prossima lezione vedremo alcune delle proprietà dell’operazione di elevamento a potenza.