In questa e nelle prossime lezioni continuiamo a parlare di polinomi. Nella scorsa lezione abbiamo mostrato come moltiplicare un monomio per un polinomio, invece, in questa lezione, vedremo come moltiplicare due polinomi tra di loro.

Moltiplicazione tra un polinomio e un monomio

Moltiplicare un monomio per un polinomio è molto semplice: è sufficiente moltiplicare ogni addendo del polinomio per il monomio stesso.

Esempio
Vediamo degli esempi per chiarire questa procedura. Supponiamo di avere il seguente polinomio

$$x^2 + y + 3$$


e di volerlo moltiplicare per il monomio

$$2xy$$

Vogliamo cioè calcolare il prodotto

$$ 2xy (x^2 + y +3) $$

Moltiplichiamo ognuno dei monomi del polinomio per il monomo $2xy$

$$ x^2(2xy) + y(2xy) + 3(2xy) = $$

$$ = 2x^3y + 2xy^2 +6xy $$

Moltiplicare due polinomi

Per moltiplicare due polinomi tra loro si procede in maniera simile a quanto visto nel caso di un monomio: si moltiplica ogni monomio del primo polinomio per il secondo polinomio.
Vediamo subito un esempio di moltiplicazione di due polinomi. Considera I seguenti due polinomi

$$ 2xy + 5xy^2 \qquad \qquad x^2 + y + 3 $$


vogliamo calcolare il prodotto

$$ (2xy + 5xy^2) ( x^2 + y + 3) $$

Si moltiplica ognuno dei monomi del primo polinomio per il secondo polinomio:

$$ 2xy ( x^2 + y + 3) + 5xy^2( x^2 + y + 3) $$

$$ x^2(2xy) + y(2xy) + 3(2xy) +x^2(5xy^2) + y(5xy^2) + 3(5xy^2) = $$

$$ = 2x^3y + 2xy^2 +6xy + 5x^3y^2 + 5xy^3 + 15xy^2 $$

che è il risultato finale.

Proprietà commutativa della moltiplicazione tra polinomi

Osserviamo che la moltiplicazione fra polinomi è una operazione che gode della proprietà commutativa: l’ordine con cui si moltiplicano I polinomi non conta per il risultato finale.

Mostriamo la vaalidità di questa proprietà nell’esempio precedente, invece di moltiplicare

$$ (2xy + 5xy^2) ( x^2 + y + 3) $$

scambiamo l’ordine dei due fattori:

$$ ( x^2 + y + 3)(2xy + 5xy^2) $$

Adesso moltiplichiamo ogni monomio del primo polinomio per il secondo polinomio

$$ 2xy ( x^2 + y + 3) + 5xy^2 ( x^2 + y + 3) $$

$$ 2xy(x^2) + 2xy(y) + 2xy(3) + 5xy^2(y^2) + 5xy^2(y) +5xy^2(3) $$

$$ = 2x^3y + 2xy^2 +6xy + 5x^3y^2 + 5xy^3 + 15xy^2 $$

Lo stesso risultato di prima.

Per ricapitolare, per moltiplicare un polinomio per un altro polinomio è sufficiente moltiplicare ogni termine del primo polinomio per ogni termine del secondo polinomio .

Nelle prossime lezioni continueremo a parlare di polinomi e vedremo nel dettaglio le operazioni che si possono fare con polinomi e monomi. In particolare nella prossima lezione vedremo un caso particolare di prodotto tra polinomi, il calcolo del quadrato del binomio.