Nel piano cartesiano, come abbiamo già visto, possiamo rappresentare una retta con un equazione algebrica. Nel caso in cui abbiamo due o più rette nello stesso piano vogliamo capire la loro mutua posizione. In particolare, oggi andremo a vedere quando due rette si dicono parallele e, avendo l’equazione della retta, le condizioni di parallelismo nel piano cartesiano facendo qualche esempio per chiarire il concetto. Partiamo subito con la definizione di rette parallela nel piano:

Due rette si dicono parallele nel piano se non si intersecano in nessuno punto oppure se sono tali da coincidere punto per punto

Nel caso in cui non si intersecano diremo che le rette sono parallele distinte e nel caso in cui coincidono punto per punto diremo che le rette sono parallele coincidenti.
Attenzione!!
La definizione appena data non vale assolutamente nello spazio, poiché due rette che non si incontrano mai nello spazio potrebbero essere sghembe. Noi ci ridurremo ad analizzare il caso del piano cartesiano senza preoccuparci dello spazio tridimensionale, quindi, per i nostri scopi, la definizione data è esaustiva.

Condizioni di parallelismo

Esistono diverse condizioni di parallelismo tra due rette, ma noi ci concentreremo sul metodo analitico per risolvere la questione. Qui accorre in nostro aiuto il modo in cui possiamo scrivere le equazioni di una retta sul piano cartesiano, in particolar modo la forma esplicita di quest’ultima. Intuitivamente la condizione per cui due rette non si incontrino mai nel piano è che abbiano la stessa pendenza! Infatti, se la pendenza è diversa, le rette si incontreranno sicuramente in un punto del piano, proprio per come le abbiamo definite (sono un insieme INFINITO di punti perfettamente allineati!). Possiamo dare la seguente condizione di parallelismo:

Due rette si dicono parallele se e solo se hanno lo stesso coefficiente angolare

In termini di formule dobbiamo distinguere i casi in cui le rette sono in forma esplicita o sono in forma implicita.

Siano \(r_1\) e \(r_2\) due rette in forma esplicita

$$r_1:\quad y=m_1x+q_1$$


$$r_2:\quad y=m_2x+q_2$$


allora esse sono parallele nel piano, e si indica con il simbolo \(r_1 // r_2\), se e solo se

$$m_1=m_2$$


Osserviamo che per le equazioni in forma esplicita verificare la condizione di parallelismo è immediato perché proprio la forma dell’equazione ci dà i coefficienti angolari delle rette.

Nel caso in cui \(r_1\) e \(r_2\) siano scritte in forma implicita, cioè

$$r_1:\quad a_1x+b_1y+c_1=0$$


$$r_2:\quad a_2x+b_2y+c_2=0$$


sono parallele se e solo se

$$a_1b_2=a_2b_1$$


che viene direttamente dal fatto che passando alla forma esplicita avremo che

$$m_1=-\frac{a_1}{b_1}\quad m_2=-\frac{a_2}{b_2}$$

Osservazione
Se \(b_1=b_2=0\) non possiamo usare il criterio, poiché altrimenti dovremmo dividere \(a_1\) e \(a_2\) per \(0\)! La teoria ci dice però, che se accade ciò, le rette sono verticali, cioè sono parallele all’asse delle ordinate \(y\): ne segue che sono parallele!

Esempi

  • Dire se le rette

    $$y=5x+2$$


    $$y=5x+3$$


    sono parallele.
    Svolgimento:
    Notiamo semplicemente che i coefficienti angolari delle rette sono uguali.

    $$m_1=m_2=5$$


    e le rette sono parallele.
  • Dire se le rette

    $$3x+2y+6=0$$


    $$6x+4y+8=0$$


    sono parallele.
    Svolgimento:
    Applichiamo il criterio di parallelismo

    $$a_1b_2=a_2b_1$$


    Sostituendo i coefficienti delle rette qui sopra avremo

    $$3\cdot 4= 6\cdot 2$$


    $$12=12$$


    Verificano la condizione di parallelismo!! Le rette sono parallele.