La retta, insieme al punto e al piano, è un ente fondamentale della geometria euclidea. Possiamo pensare ad una retta come una linea perfettamente dritta che non ha né un inizio e né una fine, infatti viene definita in questo modo.

“Una retta è un insieme infinito di punti perfettamente allineati nel piano o nello spazio”

Essa è priva, quindi, di spessore ed ha come dimensione la sola lunghezza. Questa è una definizione abbastanza generale che va bene per ogni dimensione che prendiamo in considerazione (ovvero piano o spazio), ma che cosa vuol dire in formule questa definizione?
Esaminiamo il caso del piano, che rappresentiamo bene con il consueto piano cartesiano. Fissiamo, perciò, un origine con le relative ascisse e ordinate vedendo come si rappresenta una retta nel piano cartesiano.

Retta nel piano cartesiano

Il piano cartesiano ci permette di descrivere una retta con un equazione algebrica nelle incognite \(x\) e \(y\). Per come è definita una retta ci serve, prima di tutto, una condizione di appartenenza dei punti a quest’ultima: un punto \(P=(x,y)\) nel piano cartesiano appartiene alla retta se e solo se risolve l’equazione ad essa associata. Visto ciò, per verificare che un punto appartiene a una retta, bisogna sostituire il punto all’equazione e vedere se verifica l’equazione (faremo poi qualche esempio…).
Possiamo descrivere la retta con due tipi di equazioni differenti:

  • L’equazione della retta in forma implicita;
  • L’equazione della retta in forma esplicita;

L’equazione della retta in forma implicita è della forma

$$ax+by+c=0$$


dove \(a\), \(b\) e \(c\) sono i coefficienti numerici e \(x\) e \(y\) sono le incognite della retta. Questa forma è molto frequente perché ci aiuta nel calcolo dell’equazione nel caso che conosciamo due punti appartenenti ad essa.

L’equazione della retta in forma esplicita è, invece, della forma

$$y=mx+q$$


dove \(m\) e \(q\) sono i coefficienti numerici e \(x\) e \(y\) sempre le incognite.
Il coefficiente \(m\) viene detto coefficiente angolare e indica la pendenza della retta nel piano cartesiano.
Il coefficiente \(q\) rappresenta il punto di intersezione della retta con l’asse delle ordinate.

Naturalmente avendo l’equazione in forma implicita si può ricavare facilmente la forma esplicita e viceversa. Infatti avendo

$$ax+by+c=0$$


basta isolare la \(y\) e portare nel membro a destra gli altri termini

$$by=-ax-c$$

  • se \(b=0\) siamo arrivati poiché il nostro coefficiente angolare \(m\) sarà rappresentato da \(a\) e la nostra \(q\) dal coefficiente \(c\).
  • se \(b \neq 0\) basta dividere a destra e a sinistra per il coefficiente \(b\)

    $$y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}$$


    dove \(m=-\frac{a}{b}\) e \(q=-\frac{c}{b}\).

Viceversa avendo

$$y=mx+q$$


basta portare \(mx+q\) al membro di sinistra

$$-mx+y-q=0$$


e abbiamo la nostra forma implicita con \(a=-m\), \(b=1\) e \(c=-1\).

Esempio

Sia

$$3x+2y-5=0$$


una retta in forma implicita. Riscrivere la retta in forma esplicita e dire se i punti \((1,1)\) e \((0,1)\) del piano cartesiano appartengono alla retta.
Svolgimento
Vediamo, prima di tutto, se i punti \((1,1)\) e \((0,1)\) appartengono alla retta.
Sostituendo \((1,1)\) all’equazione avremo che:

$$3\cdot 1 +2\cdot 1-5=0$$


che facendo i conti viene

$$0=0$$


Perciò verifica l’equazione della retta e il punto appartiene quindi alla retta.
Invece sostituendo \((0,1)\) all’equazione avremo

$$3\cdot 0 +2\cdot 1-5=0$$


$$-3=0$$


Non verifica l’equazione!! Il punto non appartiene alla retta.
Ora riscriviamo la retta in forma esplicita. Per quanto detto:

$$3x+2y-5=0$$


$$2y=-3x+5$$


$$y=-\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}$$