L’obiettivo di questo articolo è riuscire a trovare una formula che ci permetta di calcolare, nel piano cartesiano, la distanza di un punto da una retta, conoscendo le coordinate del punto nel piano e l’equazione della retta (in forma implicita o esplicita). Andiamo a vedere come si ricava! Per fare ciò partiamo dalla definizione di distanza di un punto da una retta per poi ricavarne la formula.

Distanza di un punto da una retta

Definizione: In generale, nel piano cartesiano, si definisce la distanza di un punto da una retta come la minima distanza del punto dalla retta, cioè il segmento più piccolo che collega il punto a un punto qualsiasi della retta. Volendo possiamo anche immaginare tutti i segmenti che collegano il punto ai punti della retta: noi prendiamo quello di lunghezza minima.

Noi sappiamo dalla teoria, però, che la minima distanza ci è data dalla proiezione ortogonale del punto sulla retta, cioè dal segmento che inizia nel punto ed è perpendicolare alla retta. Il problema ora è trovare questo segmento e quindi dedurne la formula ricercata. Sia \(P\) un punto e \(r\) una retta, scritta in forma implicita, nel piano cartesiano definiti così

$$P=(x_0, y_0) $$


$$r\colon ax+by+c=0$$


Troviamo, prima di tutto, la retta perpendicolare a \(r\) che passa per \(P\). Conoscendo la forma di una retta generica passante per un punto \(P\), abbiamo la seguente retta in forma esplicita

$$s\colon y-y_0=m_s (x-x_0)$$


per un certo coefficiente angolare \(m_s\), che dobbiamo scegliere in modo tale che la retta \(s\) sia perpendicolare a \(r\). Noi sappiamo che due rette sono perpendicolari se i loro coefficienti angolari sono reciproci tra di loro, quindi prima riscriviamo la retta \(r\) in forma esplicita

$$r\colon y= -\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}$$


da questo abbiamo

$$m_r=-\frac{a}{b}$$


e di conseguenza, facendo il reciproco \(-\frac{a}{b}\), deve essere

$$m_s=\frac{b}{a}$$


Mettendo a sistema le due rette

$$\begin{cases} y= -\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}\\ y-y_0=\frac{b}{a} (x-x_0) \end{cases}$$


avremo come soluzione un certo punto \(Q\) sulla retta \(r\). Ora non ci resta che calcolarci il segmento passante per \(P\) e \(Q\) e avremo la distanza cercata!

Formula distanza punto-retta

$$d(P,r)=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

Osservazione: Da questa si può ricavare facilmente la formula per una retta \(r\) in forma esplicita…

$$ P=(x_0, y_0) $$


$$r\colon y=mx+q$$


abbiamo

$$d(P,r)=\frac{|y_0-mx_0-q|}{\sqrt{1+m^2}}$$

Osservazione: Se il punto \(P\) è un punto della retta \(r\) la distanza minima è banalmente \(0\) e non c’è bisogno di ricorrere alla formula.

Esempi

  • Determinare la distanza del punto \(P=(-2,1)\) dalla retta \(r\colon 2x-3y+1=0\).
    Basta applicare la formula della distanza punto-retta trovata!

    $$d(P,r)=\frac{|2 \cdot (-2)-3 \cdot (1)+ 1|}{\sqrt{(2)^2+(-3)^2}}=$$


    $$=\frac{|-4-3+1|}{\sqrt{4+9}}=\frac{|-6|}{\sqrt{13}}=\frac{6}{\sqrt{13}}$$

  • Determinare la distanza tra le due rette parallele \(y=3x+5\) e \(y=3x-3\).
    La distanza, definita come la minima distanza tra le due rette, non cambia al variare di un punto in una delle due rette, poiché queste sono parallele. Cerchiamo , quindi, un punto appartente a una delle due rette per poi applicare la formula della distanza di un punto da una retta. Troviamo un punto appartenente a

    $$y=3x-3$$


    Per questo fissiamo il punto \(0\) per le ordinate nel piano cartesiano e troviamo la corrispettiva \(x\) per la retta

    $$0=3x-3 \implies 3x=3 \implies x=1$$


    Abbiamo trovato il punto \(P=(1,0)\) appartenente alla retta! Applichiamo la formula della distanza punto-retta tra il punto \(P=(1,0)\) e la retta \(y=3x+5\):

    $$d(P,r)=\frac{|0-3 \cdot 1-5|}{\sqrt{1+3^2}}=\frac{8}{\sqrt{10}}$$


    che è la distanza tra le due rette parallele!