Criteri di divisibilità

Nella scorsa lezione abbiamo parlato di multipli e sottomultipli di un dato numero naturale. Quando i numeri sono grandi non è però chiaro come trovare i suoi sottomultipli o divisori.
In questa lezione vedremo dei metodi per capire se un numero è divisibile per alcuni numeri senza dover veramente svolgere la divisione e controllare che non ci sia resto, ma semplicemente guardando il numero iniziale, utilizzando alcuni criteri di divisibilità.

Di seguito analizziamo nel dettaglio alcuni dei criteri di divisibilità più importanti, scopriamone il funzionamento e soprattutto vediamo qualche esempio, in modo che la questione sia molto più chiara.

Criterio divisibilità per 2

Nella scorsa lezione abbiamo osservato che essere divisibile per un numero, non significa altro che essere un suo multiplo. In particolare abbiamo chiamato i numeri divisibili per 2 (o multipli di 2) numeri pari. Come possiamo riconoscere i numeri pari di molte cifre?

La risposta è semplice: un numero è pari se e soltanto se la sua ultima cifra è pari (o multiplo di 2, o divisibile per 2, che dir si voglia).
Ricordiamo che i numeri di una sola cifra divisibili per 2 sono: 0, 2, 4, 6 e per finire 8. In sostanza un numero è pari (divisibile per 2) se finisce per una di queste cifre, in caso contrario non lo è, e come abbiamo visto nella scorsa lezione, viene chiamato dispari.

Facciamo adesso degli esempi per riuscire a comprendere al meglio la questione:

• 24 è pari (divisibile per 2) infatti la sua ultima cifra , 4 , è pari.
• 58 è pari perché la sua ultima cifra lo è.
• 53 non è un numero pari perché 3 non è un numero pari.
• 125838926 è un numero pari perché l’ultima cifra, 6, è un numero pari.

Criterio di divisibilità per 3

Quando invece un numero è divisibile per 3? Ricordiamo che i numeri di una sola cifra divisibili per 3 sono: 0, 3, 6 e per finire 9. Dato un numero qualunque, questo è divisibile per 3 se e soltanto se la somma delle sue cifre sia divisibile per 3.
Nel caso in cui la somma delle cifre di un numero sia composto da più cifre possiamo iterare questo procedimento fino ad ottenere un numero composto da una sola cifra.

Anche in questo caso facciamo degli esempi per riuscire a capire meglio la questione:

• 24 è divisibile per 3 infatti 2 + 4 = 6 che è divisibile per 3.
• 99 è divisibile per 3 infatti 9 + 9 = 18 adesso possiamo ricordarci che 18 è divisibile per 3 e concludere oppure iterare il procedimento: 1 + 8 = 9 che è divisibile per 3.
• 32 non è divisibile per 3 infatti 3 + 2 = 5 che non è divisibile per 3.

Criterio divisibilità per 5

Passiamo ora a vedere il criterio di divisibilità per 5, che è uno dei più semplici. Infatti abbiamo che un numero è divisibile per 5 se e soltanto se la sua ultima è 0 oppure 5.

Risulterà comunque una buona idea fare qualche esempio, anche se tra i criteri di divisibilità questo risulta senza dubbio il più semplice:

• 20, 25, 64530, 325 sono divisibili per 5.
• 3,9, 98, 234234, 551 non sono divisibili per 5.

Facilissimo!

Criterio divisibilità per 7

I criteri di divisibilità non sono ancora conclusi, passiamo adesso a vedere in che modo funziona il criterio per 7. In base ad esso possiamo dire che un numero di due cifre è divisibile per 7 se la differenza del numero ottenuto escludendo la cifra delle unità e il doppio della cifre delle unità è un multiplo di 7.
Un criterio un po’ più complesso rispetto agli altri, ma che forse risulterà più semplice con qualche esempio.

Esempio

• 91 è divisibile per 7 infatti 9 – 2 x 1 = 9 – 2 = 7 che è chiaramente multiplo di 7 (7 x 1).
• 92 non è divisibile per 7 infatti 9 – 2 x 2 = 9 – 4 = 5 che non è un multiplo di 2

Come nel caso del criterio di divisibilità per 3, nel caso non fosse chiaro se il numero finale è divisibile per 7 possiamo iterare il procedimento fino ad ottenere un numero formato da una sola cifra.

Criterio divisibilità per 9 e per 11

Il criterio di divisibilità per nove, ricorda molto il criterio di divisibilità per 3.
Dato un numero qualunque, questo è divisibile per 9 se e soltanto se la somma delle sue cifre e vedere se questo è divisibile per 9.
Nel caso in cui la somma delle cifre di un numero sia composto da più cifre possiamo iterare questo procedimento fino ad ottenere un numero composta da una sola cifra.

Il criterio di divisibilità per 11 invece prevede che: un numero sia divisibile per 11 se la differenza tra la somma delle cifre in posizione pari e le cifre in posizione dispari è 0.

Facciamo un esempio in questo caso in modo da capire la questione:
-*121 è divisibile per 11 infatti:
la somma delle cifre in posizione dispari è 1 +1 = 2
c’è un’unica cifra in posizione pari 2
e la differenza tra questi 2 numeri (2 -2 ) è 0.

• 12231 non è divisibile per 11 infatti
  la somma delle cifre in posizione dispari è 1 + 2 + 1 = 4
  la somma delle cifre in posizione pari è 2 +3 = 5
  e la differenza tra questi 2 numeri ( 5 - 4 ) non è 0.

Metodo generale
Un numero è divisibile per n e n è il prodotto di p e q se e solo se è divisibile contemporaneamente per p e per q. Questo è l’enunciato che possiamo prendere in esame per dare una formula generale.

Facciamo un ultimo esempio , prima di concludere questa lezione, e prendiamo il criterio divisibilità per 10. 10 è il prodotto di 2 e 5 quindi un numero è divisibile per 10 se e soltanto se è divisibile contemporaneamente per 2 e per 5. Dato che un numero è divisibile per 5 se e solo se termina con 0 o 5 e un numero è divisibile per 2 se e solo se termina con un numero pari, un numero è divisibile per 10 solo se termina con uno 0.

Più in generale un numero è divisibile per $10^n$ se e solo se termina con n zeri.

Ora che abbiamo più chiara tutta la questione sui numeri primi e i criteri di divisibilità di un numero, con il loro funzionamento, possiamo passare al prossimo tema.
Nella prossima lezione parleremo invece dei numeri primi di cui abbiamo già preannunciato qualcosa nella scorsa lezione.