In questa e nelle prossime lezioni continuiamo a parlare di polinomi, uno degli argomenti più importanti della matematica moderna. In particolare in questa lezione vedremo come moltiplicare o dividere un monomio per un polinomio.

Moltiplicazione tra un polinomio e un monomio

Moltiplicare un monomio per un polinomio è molto semplice: è sufficiente moltiplicare ogni addendo del polinomio per il monomio stesso.

Esempio
Vediamo degli esempi per chiarire questa procedura. Supponiamo di avere il seguente polinomio

$$x^2 + y + 3$$


e di volerlo moltiplicare per il monomio

$$2xy$$

Vogliamo cioè calcolare il prodotto

$$ 2xy (x^2 + y +3) $$

Moltiplichiamo ognuno dei monomi del polinomio per il monomo $2xy$

$$ x^2(2xy) + y(2xy) + 3(2xy) = $$

$$ = 2x^3y + 2xy^2 +6xy $$

Consideriamo invece il prodotto dello stesso polinomio

$$x^2 + y + 3$$


per il monomio

$$ 5xy^2 $$

Vogliamo cioè calcolare il prodotto

$$ 5xy^2 (x^2 + y +3) $$

Moltiplichiamo ognuno dei monomi del polinomio per il monomo

$$5xy^2$$

$$ x^2(5xy^2) + y(5xy^2) + 3(5xy^2) = $$

$$ = 5x^3y^2 + 5xy^3 + 15xy^2 $$

Semplice vero?

Divisione tra un polinomio e un monomio

Passiamo adesso a parlare di divisione tra un polinomio e un monomio. Per quanto riguarda la divisione tra un polinomio e un monomio il procedimento è simile a quello usato nel caso della moltiplicazione: dividiamo ogni termine del polinomio per il monomio stesso. Partiamo da un esempio.

Esempio
Cerchiamo di calcolare quasta semplice divisione

$$(5x +3xy) : x$$

dividiamo il primo termine $5x$ per $x$ il risultato è 5 con resto 0

dividiamo \(3xy\) per \(x\) il ridultato è 3y con resto 0

Riassumendo
\((5x +3xy) : x = 5 +3y\)

Per verificare che la divisione sia stata calcolata correttamente, possiamo fare la prova: basta moltiplicare $x$ per $5+3y$ se il risultato è il polinomio di partenza allora non abbiamo commesso errori. Proviamo:

$$ x(5 +3y) = 5x +3yx $$

Esempio
Proviamo a risolvere un’altra divisione

$$ ( 2x^3y + 2xy^2 +6xy) : 2xy$$

Procedendo come nell’esempio precedente, dividiamo ogni monomio del polinomio per il monomio \(2xy\).

Il risultato finale è il polinomio

$$ x^2 + y +3 $$

Per concludere facciamo la prova:

$$ 2xy (x^2 + y +3) = 2x^3y + 2xy^2 +6xy $$

che è proprio il polinomio di partenza.

Per ricapitolare, per moltiplicare/dividere un polinomio per un monomio è sufficiente moltiplicare/dividere ogni termine del polinomio per il monomio stesso.

Nelle prossime lezioni continueremo a parlare di polinomi e vedremo nel dettaglio le operazioni che si possono fare con polinomi e monomi. In particolare nella prossima lezione vedremo come generalizzare il procedimento visto in questa lezione per moltiplicare tra loro due polinomi.