In questa e nelle prossime lezioni cominceremo a parlare di polinomi, uno degli argomenti più importanti della matematica moderna. Vedremo nello specifico cosa sono, daremo una loro definizione e soprattutto faremo degli esempi che riusciranno a rendere più chiaro l’argomento.

Polinomi: definizione

Un polinomio è un’espressione algebrica composta da somme e differenze di monomi.
Vediamo subito qualche esempio pratico per capire bene di cosa si stia parlando:

$$ x^2y$$


$$ 3x^2 +y^2 $$


$$ x+y+\frac{1}{2}z$$

Vediamo invece qualche esempio di espressioni algebriche che non sono polinomi:

$$ 5 \sqrt{x}z + y $$


$$ \frac{xy}{z} + x $$

Le espressioni algebriche appena mostrate non sono polinomi perché hanno termini che non sono monomi:

$$ 5 \sqrt{x}z \qquad \qquad \frac{xy}{z} $$

Notazione
Negli esempi precedenti abbiamo usato come variabili le lettere $x,y,z$ che sono solitamente le lettere più usate a questo scopo. Nessuno ci vieta di usare le lettere che preferiamo di più o insiemi di lettere o addirittura un’intera parola per indicare una sola variabile.

Polinomio ridotto in forma normale

Entriamo ora nel vivo della nostra trattazione e vediamo in che modo si riduca a forma normale un polinomio. Un polinomio si dice scritto in forma normale se è un monomio o è composto di monomi non simili tra di loro (e quindi non si possono sommare o sottrarre).

Per trasformare un qualunque polinomio in un polinomio scritto in forma normale è molto semplice: è sufficiente sommare tutti i monomi simili che appaiono nel polinomio. Una volta terminato, quello che rimane è un polinomio scritto in forma normale

Esempio

In questo esempio vediamo come trasformare un polinomio in forma normale. Consideriamo ad esempio il seguente polinomio:

$$ 7x -9y +4 -12x +15xy -12 -x + 3y -xy $$


I monomi che compaiono sono della forma x, y, xy e I termini noti, quelli che compaiono senza variabili.
Sommiamo i monomi simili come abbiamo visto nella lezione sulla somma di monomi. Riordiniamo il polinomio mettendo vicino i termini simili

$$ 7x – 12x – x - 9y + 3y +15xy + xy+ 4 -12$$


$$ (7-12-1)x + (-9+3)y +(15+1)xy +(4-12) $$


$$ -6 x -6y +16xy + 8 $$

Il grado di un polinomio invece non è altro che il più grande tra tutti i gradi dei monomi coinvolti. Come potete vedere nell’esempio sottostante:

$$ 7x – 12x – x - 9y + 3y +15xy + xy+ 4 -12 $$

il polinomio è di secondo grado perchè il monomio di grado più alto è $15xy$ che ha proprio grado 2.

$$ 7x + 3y^2 +15x^2y^3 + xy+ 4 -12 $$

Questo polinomio è di quinto grado perchè il monomio di grado più alto è $15x^2y^3$ che ha proprio grado 5.

Esempio
Tra tutti i polinomi, svolgono un ruolo importante, i polinomi in una sola variabile:

\(x\)
\(x^2 +3\)
\(x^4 + 5x^3 + 2x +7\)

Nelle prossime lezioni continueremo a parlare di polinomi e vedremo nel dettaglio le operazioni che si possono fare con polinomi e monomi.