Nelle scorse lezioni abbiamo introdotto i monomi, abbiamo inanzi tutto definito i monomi, visto le proprietà e caratterizzato i monomi fino ad arrivare all’addizione e sottrazione tra monomi.
In questa lezione continuiamo a vedere le operazioni fondamentali tra i monomi con la moltiplicazione e la divisione.

Moltiplicazione tra monomi

A differenza dell’addizione e della sottrazione, in cui i monomi facenti parte dell’espressione devono essere simili, la moltiplicazione tra monomi è sempre possibile. Il risultato di una moltiplicazione tra monomi è un monomio che ha:

  • Parte numerica, o coefficiente numerico, dato dalla moltiplicazione, o prodotto, dei coefficienti numerici che compongono i monomi dell’espressione data;
  • Parte letterale data da tutte le lettere dei singoli monomi, ciascuna con esponente uguale alla somma degli esponenti delle singole lettere.

Esempio

$$ 9x^4 \times 3x^2y^5 \times 8xz $$

Il coefficiente numerico del monomio risultante è la moltiplicazione dei coefficienti dei monomi dati ovvero:

$$ 9 \times 3 \times 8 = 216 $$

La parte letterale è formata da tutte le lettere che compaiono ovvero x, y, z. In particolare gli esponenti di ogni lettera saranno:

L’esponente della lettera x è :

$$ 4 + 2 + 1 = 7 $$

L’esponente della lettera y è:

$$ 5 + 1 = 6 $$

L’esponente della lettera z è:

$$ 1 $$

Quindi il monomio risultante è 216x^7y^6z

Facciamo un esempio pratico per comprendere la questione:

$$ 19x^9z^2 \times 32x^21y^5 \times 8xz^9 $$

Il coefficiente numerico del monomio risultante è la moltiplicazione dei coefficienti dei monomi dati ovvero:

$$ 19 \times 32 \times 8 = 4864 $$

La parte letterale è formata da tutte le lettere che compaiono ovvero x, y, z. In particolare gli esponenti di ogni lettera saranno:

L’esponente della lettera x è :

$$ 9 + 21 + 1 = 31 $$

L’esponente della lettera y è:

$$ 5 $$

L’esponente della lettera z è:

$$ 9 + 2 = 11 $$

Quindi il monomio risultante è

$$ 4864x^31y^5z^11 $$

Divisione tra monomi

La divisone tra monomi richiede che i due monomi facenti parte della divisione rispettino la condizione di divisibilità tra monomi.

Un monomio (dividendo) di dice divisibile per un secono monomio (divisore) se gli esponenti di ogni singolo elemento della parte letterale del monomio dividendo siano maggiori o uguali agli esponenti delle lettere corrispondenti del monomio divisore.

Rispettatata tale condizione il monomio risultante dalla divisione ha:

  • Coefficiente numerico dato dalla divisione dei coefficienti numerici del dividendo e del divisore;
  • Parte letterale data da tutte le lettere dei singoli monomi, ciascuna con esponente uguale alla sottrazione degli esponenti delle singole lettere.

Esempio

$$ 3x^3y^2z : 3xy^2 $$

Notiamo che la condizione di divisibilità tra monomi è rispettata.

Il coefficiente numerico del monomio risultante è la divisione dei coefficienti dei monomi dati ovvero:

$$ 3 : 3 = 1 $$

La parte letterale è formata da tutte le lettere che compaiono ovvero x, y, z. In particolare gli esponenti di ogni lettera saranno:

L’esponente della lettera x è :

$$ 3 - 1 = 2 $$

L’esponente della lettera y è:

$$ 2 -2 = 0 $$

L’esponente della lettera z è:

$$ 1 $$

Quindi il monomio risultante è

$$x^2z$$

Di seguito un altro esempio che permetterà di comprendere meglio ciò di cui stiamo parlando:

$$ 6x^4y^2z : 2x^3y^2 $$

Notiamo che la condizione di divisibilità tra monomi è rispettata.

Il coefficiente numerico del monomio risultante è la divisione dei coefficienti dei monomi dati ovvero:

$$ 6 : 2 = 3 $$

La parte letterale è formata da tutte le lettere che compaiono ovvero x, y, z. In particolare gli esponenti di ogni lettera saranno:

L’esponente della lettera x è :

$$ 4 - 3 = 1 $$

L’esponente della lettera y è:

$$ 2 -2 = 0 $$

L’esponente della lettera z è:

$$ 1 $$

Quindi il monomio risultante è

$$ 3xz $$

Esempio

$$ 6x^4y^2 : 2x^5y^2 $$

Notiamo che la condizione di divisibilità tra monomi non è rispettata poichè 4 è minore di 5 quindi la divisione proposta non è eseguibile.

Nella prossima lezione ci concentreremo sull’ultima operazione da trattare: la potenza di un monomio.