In questa e nelle prossime lezioni continuiamo a parlare di polinomi. Nella scorsa lezione abbiamo mostrato come calcolare il quadrato di un polinomio particolare, il binomio. In questa lezione ci spingiamo un pochino oltre chiedendoci come calcolare il cubo di un binomio.

Come moltiplicare due polinomi?

Moltiplicare un monomio per un polinomio è molto semplice: è sufficiente moltiplicare ogni addendo del polinomio per il monomio stesso.

Per moltiplicare due polinomi tra loro si procede in maniera simile a quanto visto nel caso di un monomio: si moltiplica ogni monomio del primo polinomio per il secondo polinomio.

Cubo del binomio

Definizione: un polinomio composto da due e due soli monomi si dice binomio. Un polinomio composto da tre e tre soli monomi è detto trinomio.

Per cubo di un binomio si intende la moltiplicazione tra il binomio e se stesso tre volte.
Per esempio per calcolare il quadrato del binomio $x+y$ abbiamo

$$ (x+y)^3 = (x+y)(x+y)(x+y) $$

Ricordando il metodo di prodotto tra due polinomi abbiamo

$$ (x(x+y) + y(x+y))(x+y) = (x^2 + xy + xy + y^2)(x+y) = $$


$$ (x^2 + 2xy +y^2)(x+y) = x^3 + 2x^2y +xy^2 + x^2y + 2xy^2 + y^3 $$


$$ x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 $$

Il risultato che è venuto non è casuale: quando calcoliamo il quadrato del binomio il risultato sarà sempre composto da 4 monomi: il cubo del primo monomio, il cubo del secondo monomio e il triplo prodotto del quadrato del primo per il secondo e il triplo prodotto del primo per il quadrato del secondo.

Esempio
In questo esempio troviamo il cubo di un binomio facendo particolare attenzione alle regole dei segni. Consideriamo il seguente quadrato di binomio:

$$ (-xy + y^2)^3 = (-xy)^3 + 3(-xy)^2(y^2) + 3(-xy)(y^2)^2 +(y^2)^3 $$


$$ = -x^3y^3 – 3x^2y^4 -3xy^4 + y^6$$

Nota come i cubi dei monomi hanno sempre lo stesso segno del monomio di partenza. Anche se il monomio ha segno negativo, quando viene moltiplicato per se stesso due volte, per la regola dei segni, avrà sempre segno di partenza.

Una formula simile si può ricavare anche nei caso dei trinomi. Come esercizio si potrebbe provare a ricavare la formula per il cubo di un trinomio cercando di moltiplicare il trinomio $x+y+z$ per se stesso due volte.

Il procedimento per il calcolo della potenza di un binomio che abbiamo visto in questa lezione nel caso del cubo e nelle scorse lezioni nel caso del quadrato può essere generalizzata. Esiste infatti una formula per qualunque potenza del binomio ed è legata a quella che viene chiamato triangolo di Tartaglia.