In questa lezione continuiamo a parlare di proporzioni vedendo in modo dettagliato la proprietà dell’invertire
Le proporzioni sono relazioni che coinvolgono quattro grandezze $a,b,c,d.$
Una proporzione appare solitamente nella seguente forma:
$$ a: b = c : d $$
e si legge “ $ \ a $ sta a $ \ b $ come $ \ c $ sta a $ \ d $ ”
Il rapporto tra le quantità $ \ a $ e $ \ b $ è lo stesso che c’è tra le quantità $ \ c $ e $ \ d $ .
Scopriamo adesso come funziona la proprietà dell’invertire e in che modo è possibile applicarla ai nostri problemi con le proporzioni. Attraverso degli esempi vediamo in che modo poterla applicare e soprattutto cerchiamo di comprenderla, così da non avere problemi.
Proprietà dell’invertire
Partendo da una proporzione del tipo
$$ a: b = c : d $$
La proprietà dell’invertire ci dice che allora abbiamo anche la seguente proporzione
$$ b: a = d : c $$
In altre parole la proprietà dell’invertire ci dice che se si scambiano antecedenti e conseguenti, si ha una proporzione equivalente a quella di partenza.
Esempio
Supponiamo di avere la seguente proporzione:
$$ 2:3 = 10 :15 $$
Per la proprietà dell’invertire vale anche la seguente:
$$ 3:2 = 15 :10 $$
Esempio
Supponiamo di avere la seguente proporzione:
$$ 8:4 = 10 :5 $$
Per la proprietà dell’invertire vale anche la seguente:
$$ 4:8 = 5 :10 $$
Esempio
Supponiamo di avere 2 incognite $x$ e $y$ e supponiamo di sapere che la loro differenza $x-y= 6$ e che stanno in proporzione nel modo seguente
$$ y : x = 4 : 7 $$
Vorremmo usare la proprietà dello scomporre
$$ y-x : x = 4-7 : 4 $$
ma non conosciamo il valore di $y-x$ ! Allora, prima di applicare la proprietà dello scomporre applichiamo la proprietà dell’invertire, così la proporzione iniziale diventa
$$ x: y = 7 : 4 $$
E se applichiamo la proprietà dello scomporre otteniamo
$$ x-y : y = 7-4 : 4 $$
$$ 6: y = 3:4 $$
A questo punto è facile utilizzando la proprietà fondamentale, ricavare il valore di $ y $
Infatti
$$ 3 \times y = 6 \times 4 $$
da cui, dividendo per 3 entrambi i membri otteniamo y=8
A questo punto per ricavate il valore della $ x $ possiamo procedere in 2 modi
Usare il fatto che $ x-y=6 $ da cui $ x=6 +y = 6 +8 = 14 $
Usare $ y : x = 4 : 7 $ da cui, conoscendo il valore di $ y $
$$ 8 : x = 4 : 7 $$
Da cui ancora usando la proprietà fondamentale, esattamente come fatto per trovare il valore di $y$ si ottiene lo stesso risultato: $ x= 14 $Come abbiamo appena visto, questa proprietà delle proporzioni assume più forza combinata con altre proprietà, come la proprietà dello scomporre, che analizzeremo nel dettaglio nelle prossime lezioni.