Nella scorsa lezione abbiamo parlato diproporzionalità diretta, una delle due funzioni anticipate lezione dedicata ad un introduzione elementare del concetto di funzione. In questa lezione parleremo dell’altra funzione anticipata, mostrandone le proprietà e parlando del suo grafico: la proporzionalità inversa.
Diremo che due grandezze sono inversamente proporzionali se sono legate dalla seguente funzione
$$ y = \frac{K}{ x} $$
Cioè se per ottenere la grandeza y basta dividere K per la grandezza x.
Equivalentemente moltiplicando per $x$ da entrambe le parti otteniamo
$$ x \times y= K $$
cioè, due grandezze sono proporzionali se il loro prodotto è costante.
Esempio
Sicuramente abbiamo in mente tantissimi esempi di grandezze che sono inversamente proporzionali.
Un esempio potrebbe essere il legame tra il tempo necessario a percorrere 720 m rispetto alla velocità impiegata.
Posto
$x$ = tempo, $ y$ = velocità,
la legge che lega queste due grandezze è
$$y= \frac{720}{x} $$
Come abbiamo fatto nella scorsa lezione, vediamo la tabellina che viene fuori assegnando dei valori alla variabile indipendente $x$
$$x = \qquad 1 \qquad 2 \qquad 3 \qquad 4 \qquad 5 \qquad 6 \dots $$
$$y = \qquad 720 \qquad 360 \qquad 240 \qquad 180 \qquad 144 \qquad 120 \dots $$
Chiaramente vediamo che al contrario di quello che succedeva nel caso della proporzionalità diretta, all’aumentare del tempo, diminuisce la velocità di percorrenza: se abbiamo fissato la lunghezza del tragitto, più tempo ci mettiamo a percorrerlo meno veloce stiamo andando.
Più precisamente possiamo dire che due grandezze sono inversamente proporzionali se variano in modo inverso: raddoppia la $x$, allora dimezza la corrispondente $y$, triplica la $x$, allora la corrispondente $y$ è divisa per tre, e così via.
Relazione tra proporzionalità inversa e proporzioni
Due grandezze in proporzionalità inversa hanno la proprietà che corrispondenti valore di x e y stanno in proporzione nel seguente modo:
$$ y_1 : x_2 = y_2 : x_1$$
Infatti per la proprietà fondamentale delle proporzioni si ha che il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi
$$ y_1 \times x_1= y_2 \times x_2 = K $$
Prendiamo ad esempiio la tabellina tra velocità e tempo
$$x = \qquad 1 \qquad 2 \qquad 3 \qquad 4 \qquad 5 \qquad 6 \dots $$
$$y = \qquad 720 \qquad 360 \qquad 240 \qquad 180 \qquad 144 \qquad 120 \dots $$
Abbiamo
$$ 720 : 2 = 360 : 1 $$
$$ 720 : 3 = 240 : 1 $$
Rappresentazione grafica
Per finire possiamo parlare della rappresentazione grafica della funzione che lega due grandezze in proporzionalità inversa
$$ y = \frac{K}{ x} $$
Se prendiamo le coppie di punti della tabellina e li uniamo sul piano cartesiano noteremo la seguente proprietà: i punti non sono allineati ma si trovano su una curva a L ; questa curva è detta iperbole o più precisamente, ramo di iperbole.