Nelle passate lezioni abbiamo parlato di proporzioni mostrandone le prime proprietà. Le proporzioni abbiamo visto essere delle relazioni che coinvolgono quattro grandezze $a,b,c,d.$
Una proporzione appare solitamente nella seguente forma:

$$ a: b = c : d $$


e si legge “ $ \ a $ sta a $ \ b $ come $ \ c $ sta a $ \ d $ ”
Il rapporto tra le quantità $ \ a $ e $ \ b $ è lo stesso che c’è tra le quantità $ \ c $ e $ \ d $ .
Le proporzioni servono proprio a mettere in relazione quantità che stanno in rapporto costante le une con le altre.

Nella scorsa lezione abbiamo visto che a volte ci troviamo nella situazione in cui sappiamo che alcune grandezze sono proporzionali tra loro. Conosciamo il valore di tre di queste grandezze e vorremmo conoscere il valore della quarta.
Vediamo adesso dei problemi pratici in cui questo avviene.
Adesso che abbiamo anche ripassato anche la definizione vediamo come utilizzarle per risolvere dei problemi pratici.

Problema 1
Un operaio viene pagato 120 euro ogni 2 giorni. Quanti soldi guadagna alla fine di un mese da 30 giorni?
Chiamiamo $x$ il guadagno dell’operaio dopo un mese di lavoro, è chiaro che il guadagno è proporzionale ai giorni lavorati. Sul concetto di proporzionalità torneremo più nel dettaglio nelle prossime lezioni.

La proporzione con cui possiamo risolvere il problema è la seguente:

$$ 120:2 = x : 30 $$


Si legge “120 Euro stanno a 2 giorni come x Euro stanno a 30 giorni”
Avremmo potuto usare molte altre proporzioni, ad esempio

$$ 120:x = 2 : 30 $$


Ma come abbiamo visto nella lezione sulle proprietà delle proporzione, sono tutte equivalenti.

Il nostro obbiettivo è trovare il valore della nostra incognita $ x$. Usiamo la proprietà fondamentale delle proporzioni:

$$ 2 \times x = 120 \times 30 $$

Dividendo per due da entrambi i membri otteniamo

$$ x = \frac{120 \times 30}{2} = 1800.$$

Se ci fossimo chiesti quanto guadagna al giorno l’operaio e poi avessimo moltiplicato questo numero per i giorni lavorati, avremmo ottenuto lo stesso risultato. Infatti se l’operaio guadagna 120 euro ogni 2 giorni allora guadagna 60 euro in 1 giorno (anche questa è una proporzione). Per finire $ 60 \times 30 = 1800.$

Problema 2
Consideriamo il problema inverso al precedente. Se un operaio guadagna 120 euro in 2 giorni e ha guadagnato 1800 euro, quanti giorni ha lavorato?

In questo caso la nostra incognita $ x$ non indica più il guadagno ma il numero di giorni. Sappiamo già il risultato (30 giorni) vediamo come ricavarlo con le proporzioni.

La proporzione che dobbiamo scrivere (o come abbiamo già spiegato, una delle molte equivalenti) è la seguente:

$$ 120:2 = 1800 : x $$

utilizzando la proprietà fondamentale delle proporzioni sappiamo che

$$ 120 \times x = 1800 \times 2$$

Dividiamo entrambi i membri dell’uguaglianza per 120 otteniamo

$$ x = \frac{1800 \times 2}{120} = 30$$

Problema 3
Vediamo ora un problema leggermente più complicato.
Supponiamo che abbiamo 2 quantità incognite di cui conosciamo la somma e che soddisfano una certa proporzione:

$$ x+y = 144 $$

$$ x : y = 14 : 2 $$

Il nostro obbiettivo è trovare il valore delle incognite. A questo scopo ci viene in aiuto la proprietà del comporre:

$$ (x +y ): y = (14 +2) : 2 $$


Fortunatamente sappiamo che $x+y = 144$, La nostra proporzione diventa

$$144 : y = 16 : 2 $$


A questo punto è semplice trovare il valore dell’incognita $y$ come negli esempi precedenti, utilizzando la proprietà fondamentale.

$$ y = \frac{144 \times 2}{16} = 18 $$

A questo punto, conoscendo il valore della $y$, per trovare l’incognita $x$ abbiamo due strade. O lo ricaviamo da

$$ x+y = 144 \quad \mbox{da cui} \quad x =144 - y = 144 -18 = 126 $$

O alternativamente, usando la proporzione iniziale

$$ x : 18 = 14 : 2 $$

Da cui usando la proprietà fondamentale delle proporzioni ricaviamo

$$ x = \frac{18 \times 14}{2} = 126$$