Nella scorsa lezione abbiamo visto come eseguire delle operazioni con i numeri decimali limitati. Un modo alternativo, più generale, per fare conti con numeri decimali è quello di trasformarle in frazioni e fare l’operazione. Questa è la strategia che si usa per risolvere le espressioni con numeri decimali, argomento di questa lezione.

Le espressioni aritmetiche

In Matematica, per espressione aritmetica o semplicemente espressione si intende una sequenza di operazioni da eseguire su più numeri.
Ogni numero è separato dagli altri numeri da un simbolo di operazione o da opportune parentesi.

Esempio
Vediamo alcuni esempi di espressioni aritmetiche:

$$ 5 ,2+ 1,3 \times 3,4 + 4 : 2 – 9 $$

$$ ( 8 + 2 ) : 2 $$

$$ { [ ( 9 + 4 ) \times 2 ] + 6,3 } : 2 $$

L’ordine delle operazioni

Come prima cosa ricordiamo come si risolvono le espressioni aritmetiche che non contengono parentesi. Nel caso in cui abbiamo una sola operazione è chiaro come trovare la soluzione dell’espressione, quando invece le operazioni coinvolte sono più di una, ci sono delle regole che dobbiamo seguire per risolvere l’espressione.

Queste regole riguardano l’ordine in cui vanno eseguite le diverse operazioni; in ordine di priorità:

  • 1. Potenze
  • 2. Moltiplicazioni e divisioni
  • 3. Addizioni e sottrazioni

A parità di priorità si procede nell’ordine in cui sono scritte cioè da sinistra verso destra.

Espressioni con numeri decimali
Per quanto riguarda la risoluzione di espressioni con numeri decimali, come già accennato prima, la strategia è quella di trasformare i numeri decimali in frazioni (la frazione generatrice) come visto nelle scorse lezioni. A questo punto ci troviamo davanti a un’espressione con le frazioni che dovremmo essere in grado di risolvere. Vediamo un esempio.

Esempio
Cerchiamo di risolvere insieme la seguente espressione:

$$ [ ( 0,75 + 0,5 – 0,1 \ovverline{6} ) : 0,1 \ovverline{6} ] \times 0,5 =$$

Come primo passaggio trasformiamo i numeri decimali periodici e limitati in frazioni utilizzando i metodi visti nella lezione dedicata.

$$ \bigg [ \bigg( \frac{3}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} \bigg ) : \frac{1}{6} \bigg ] \times \frac{12}{24} =$$

svolgiamo prima operazioni nella parentesi tonda, abbiamo una grande somma/sottrazione bisogna trasformare tutte le frazioni in frazioni equivalenti che abbiano come denominatore il minimo comune multiplo dei denominatori 4,2 e 6

$$ mcm(4,2,6) = 12 $$

Seguendo le istruzioni che abbiamo spiegato nella sezione dedicata alla somma e alla sottrazione di frazioni abbiamo la seguente espressione con frazioni equivalenti

$$= \bigg [ \bigg( \frac{9}{12} + \frac{6}{12} - \frac{2}{12} \bigg ) : \frac{1}{6} \bigg ] \times \frac{12}{24} =$$


a questo punto le frazioni hanno tutte lo stesso denominatore e sappiamo calcolare il risultato:

$$= \bigg [ \bigg( \frac{9+6-2}{12} \bigg) : \frac{1}{6} \bigg ] \times \frac{12}{24} = $$

$$= \bigg [ \frac{13}{12} : \frac{1}{6} \bigg ] \times \frac{12}{24} = $$

Passiamo alla divisione nella parentesi quadra, ricordando che dividere è come moltiplicare per il reciproco, la nostra espressione diventa:

$$= \bigg [ \frac{13}{12} \times \frac{6}{1} \bigg ] \times \frac{12}{24} = $$

adesso possiamo svolgere la moltiplicazione. Ricordiamo che nelle moltiplicazioni si può semplificare in croce. Semplifichiamo il 6 e il 12 dividendoli entrambi per 6.

$$= \bigg [ \frac{13}{2} \times \frac{1}{1} \bigg ] \times \frac{12}{24} = $$

a questo punto la moltiplicazione è banale

$$= \frac{13}{2} \times \frac{12}{24} = $$

ci manca l’ultima moltiplicazione. Prima di procedere semplifichiamo la frazione di destra dividendo numeratore e denominatore per 12

$$= \frac{13}{2} \times \frac{1}{2} = $$

a questo punto svolgiamo la moltiplicazione: la frazione finale sarà il prodotto dei numeratori e il denominatore finale sarà il prodotto dei denominatori.

$$= \frac{13}{4}. $$

A questo punto possiamo ritornare al numero decimale svolgendo l’ultima divisione:

$$13 : 4 = 3,25.$$