Continuiamo a parlare di frazioni; dopo aver scoperto come si possano sommare o sottrarre, moltiplicare o dividere tra loro due frazioni in questa lezione vediamo come procedere nel caso dell’elevamento a potenza.

Richiamo
Data una frazione

$$ \frac{a}{b}$$

ricordiamo che
\(a\) viene chiamato numeratore della frazione,
\(b\) viene chiamato denominatore della frazione.

Elevamento per una potenza positiva

Elevare una frazione per una potenza positiva \(n\) significa semplicemente moltiplicare \(n\) volte la frazione per se stessa.

Osservazione
Ricordiamo che il prodotto di frazioni non è altro che una frazione che ha come numeratore il prodotto dei numeratori delle frazioni di partenza e come denominatore il prodotto dei numeratori.

Per l’osservazione appena fatta risulta chiaro che elevando una frazione a una potenza \(n \) si ha una frazione che ha come numeratore il numeratore della frazione iniziale elevato alla \(n \) e come denominatore il denominatore iniziale elevato alla \(n \).

In altre parole

$$ \bigg ( \frac{a}{b} \bigg )^n = \frac{a}{b} \times \frac{a}{b} \times \dots \times \frac{a}{b} = \frac{a \times a \times \dots \times a }{b \times b \times \dots \times b} = \frac{a^n}{b^n} ;$$

riassumendo si ha:

$$ \bigg ( \frac{a}{b} \bigg )^n = \frac{a^n}{b^n} .$$

Esempio
Supponiamo di voler elevare alla terza la frazione

$$ \frac{2}{3}, $$

si ha:

$$ \bigg ( \frac{2}{3} \bigg )^3 = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{2\times 2 \times 2}{3 \times 3 \times 3} = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27} .$$

Cioè il risultato di una frazione da elevare alla terza è una frazione che ha lo stesso numeratore elevato alla terza e lo stesso denominatore elevato alla terza.

Supponiamo di voler elevare alla seconda la frazione

$$ \frac{5}{4} $$

Si ha:

$$ \bigg ( \frac{5}{4} \bigg )^2= \frac{5}{4} \times \frac{5}{4} = \frac{5 \times 5}{4 \times 4} = \frac{5^2}{4^2} = \frac{25}{16} . $$

Elevamento per una potenza negativa

La procedura di elevamento per una potenza negativa si appoggia su quello di elevamento per una potenza positiva.

Elevando una frazione a una potenza \(-n\) si ha una frazione che ha come numeratore il denominatore della frazione iniziale elevato alla \(n\) e come denominatore il numeratore iniziale elevato alla n .

In formule si ha:

$$ \bigg ( \frac{a}{b} \bigg )^{-n} = \frac{b^n}{a^n} .$$

Cioè il risultato dell’operazione di elevamento per un esponente negativo equivale a elevare per un esponente positivo la frazione inversa:

$$ \bigg ( \frac{a}{b} \bigg )^{-n} = \bigg ( \frac{b}{a} \bigg )^{n} .$$

Esempio
Supponiamo di voler elevare alla -3 la frazione

$$ \frac{3}{2} , $$

si ha:

$$ \bigg ( \frac{3}{2} \bigg )^{-3} = \bigg ( \frac{2}{3} \bigg )^3 = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{2\times 2 \times 2}{3 \times 3 \times 3} = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27} . $$

Supponiamo di voler elevare alla -2 la frazione

$$ \frac{4}{5} $$

Si ha:

$$ \bigg ( \frac{4}{5} \bigg )^{-2} =\bigg ( \frac{5}{4} \bigg )^2= \frac{5}{4} \times \frac{5}{4} = \frac{5 \times 5}{4 \times 4} = \frac{5^2}{4^2} = \frac{25}{16} . $$