Siete pronti per affrontare insieme un avvincente argomento? Iniziamo infatti, in questa e nelle prossime lezioni a parlare di equazioni esaminando di cosa stiamo parlando, la loro differenza con le identità e i diversi tipi di equazioni. Passeremo poi a vedere come si risolvono le equazioni di primo grado e soprattutto come possiamo usare questo strumento matematico per risolvere problemi teorici o quesiti più pratici. Iniziamo subito!
Equazioni: diamo una definizione
Cosa si intende per equazione? Una equazione non è nient’altro che un’uguaglianza fra due quantità.
Vediamo alcuni esempi di equazione per capire meglio di cosa stiamo parlando.
La seguente è una equazione:
3kg di pane = 6 euro
Come possiamo immaginare l’equazione precedente è equivalente alle seguente equazione
3kg di pane + 1 euro = 7 euro
Nelle prossime lezioni analizzeremo in dettaglio l’equivalenza tra equazioni e come possiamo usare l’equivalenza per risolvere l’equazione.
Matematicamente possiamo scrivere l’equazione precedente, nel modo seguente:
$$ 3x = 6 $$
Dove con x intendiamo il prezzo di pane al Kg.
Le equazioni vengono spesso utilizzate per conoscere il valore di certe incognite a partire da un uguaglianza che sappiamo essere vere.
Supponiamo di sapere che 3kg di pane = 6 euro o matematicamente che
$$3x =6$$
ci chiediamo, quanto costa un kg di pane??
In altre parole, matematicamente, stiamo cercando il valore dell’incognita \( x \).
In questo caso il valore dell’incognita è \( x = 2 \) infatti se un kg di pane costa 2 euro risulta che i tre kg di pane costino 6 euro.
Nelle prossime lezioni vedremo come risolvere le equazioni di questo tipo: le equazioni di primo grado in una sola incognita.
Esempio
Non tutte le equazioni sono di primo grado e in una sola incognità. Supponiamo di seguire una ricetta culinaria in cui:
$$(la quantità di sale in mg)^2 + (la quantità di farina in grammi) = \frac{1}{2} (numero di persone)$$
Possiamo riscrevere l’equazione precedente
$$ x^2 + y = \frac{1}{2} z $$
Supponiamo di conoscere il numero di persone per cui vogliamo cucinare \( z = 4 \) e vogliamo sapere quanta farina e quanto sale è necessario.
L’equazione finale
$$ x^2 + y = \frac{1}{2} z = \frac{1}{2} 4 = 2$$
$$ x^2 + y = 2$$
è una equazione di secondo grado in due incognite e non sarà trattata nel seguito.
Identità: definizione ed esempi pratici
Tra tutte le equazioni, ce ne sono alcune che sono particolari e che non dipendono dal valore di una qualche incognita ma che sono vere a prescindere.
Equazioni di questo tipo sono ad esempio
5 euro = 5 euro
3 caramelle = 2 caramelle + 1 caramella
e così via.
Queste particolari equazioni vengono dette identità. Formalmente un’identità è un’uguaglianza tra due espressioni algebriche uguali e che è verificata per qualsiasi valore delle incognite (a patto che le espressioni algebriche siano definite).
Esempio
Le seguenti identità:
$$ x = x $$
$$ 3=2+1 $$
$$ x+y = x+2y -y $$
$$ \frac{1}{x} = \frac{1}{x} $$
Sono soddisfatte per qualunque valore delle incognite a patto che le espressioni algebriche abbiano senso. Nella pratica l’ultima identità non è valida per qualunque valore della \( x\) ma più precisamente è valida per qualunque \( x \) a patto che non sia 0. In tal caso l’espressione non avrebbe senso: non ha senso dividere per 0.