In questa lezione parliamo della proprietà commutativa, proprietà che si applica all’operazione di addizione e moltiplicazione, ma che non vale per la sottrazione e la divisione.
Di seguito vediamo tutti i dettagli di questa proprietà, proponiamo qualche esempio per comprendere meglio la situazione e comprendere in che modo applicarla.
Proprietà commutativa della somma
A tutti è abbastanza chiaro che se abbiamo 4 mele e ne aggiungiamo 6 alla fine avremo 10 mele. Allo stesso modo se partiamo da 6 mele e ne aggiungiamo altre 4, sempre 10 mele avremo. Questa è esattamente la proprietà commutativa dell’addizione. Non ha importanza l’ordine in cui si sommano gli addendi o in altri termini: “Cambiando l’ordine degli addendi, il risultato non cambia”.
Esempi
Facciamo qualche esempio per riuscire a comprendere a pieno la questione:
- 6 + 4 = 4 + 6 = 10
- 3 + 2 = 2 + 3 = 5
La stessa cosa avviene se si hanno più di 2 addendi. Consideriamo ad esempio la seguente espressione:
3 + 2 + 5
Seguendo le regole delle espressioni, dovremmo svolgere le operazioni nell’ordine in cui sono scritte. Dovremmo svolgere prima “3+2” ottenendo l’espressione ridotta 5 + 5
che dà come risultato 10.
Se invece fossimo partiti dall’ultima somma “2 + 5” avremmo ottenuto un’altra espressione ridotta: 3 + 7,ottenendo comunque lo stesso risultato di prima: 10
Addirittura avremmo potuto calcolare “3 + 5” ottenendo l’espressione ridotta 2 + 8 giungendo, ancora una volta, allo stesso risultato.
Proprietà commutativa del prodotto
Per il prodotto avviene esattamente la stessa cosa che avviene per la somma; non ha importanza in che modo moltiplichiamo dei numeri fra di loro, più precisamente:
“Cambiando l’ordine dei fattori, il risultato non cambia”.
Esempi:
- 3 x 2 = 2 x 3 = 6
- 5 X 4 = 4 x 5 = 20
- (-2) x 2 = -4
e la stessa cosa vale se ho più fattori:
2 x 3 x 4 = 3 x 4 x 2 = 2 x 4 x 3 = … = 24
Quando la proprietà non vale?
Questa bella proprietà non vale però per la sottrazione e per la divisione in cui l’ordine in cui sono scritti i termini assume un’importanza:
Esempi
5 - 4 = 1 d’altro canto 4 - 5 = -1
3 : 2 = 1,5 mentre 2 : 3 = 0,6666..
Chiaramente questa proprietà per l’addizione e la moltiplicazione vale anche se i numeri usati non sono interi ma decimali.
Uso della proprietà commutativa
La proprietà commutativa può essere utile per semplificare i conti o permettere di farne alcuni a mente senza l’utilizzo di carta e penna.
Esempio
Consideriamo la seguente espressione:
76 + 5 + 15 + 4
La sua soluzione non è ovvia, eppure, usando la proprietà commutativa può essere riscritta nel modo seguente:
76 + 4 + 15 + 5;
facendo le operazioni in questo ordine avremo la seguente espressione ridotta
80 + 15 + 5
che possiamo anche riscrivere (riutilizzando la proprietà commutativa) come
15 + 5 + 80.
Adesso facendo le operazioni nell’ordine in cui sono state scritte otteniamo l’espressione
20 + 80
che ha come risultato il numero 100.
Nella prossima lezione parleremo ancora di una proprietà che vale per l’addizione e la moltiplicazione: la proprietà associativa.