In questa lezione parliamo di quei problemi in cui è richiesto scoprire il valore di un’incognita attraverso la conoscenza di tre valori attraverso le nozioni di grandezze direttamente e inversamente proporzionali.
I problemi di questa lezione si differenziano da quelli "semplici" in quanto la grandezza incognita dipende dal valore di più dati forniti dal testo. In generale si possono vedere come l’unione di due o più problemi del tre semplice diretto o del tre semplice inverso, di cui abbiamo parlato nelle lezioni precedenti.
Problema del tre composto
Vediamo come risolvere i problemi del tre composto partendo da un esempio:
Esempio
"Un bar produce, con 100 kg di farina, 600 tramezzini da 200 grammi ciascuno. Per fare 850 tramezzini da 240 grammi ciascuno, quanti chilogrammi di farina occorrono? "
Come possiamo notare la grandezza incognita (kg di farina) dipende sia dal numero di tramezzini sia dal peso di ogni tramezzino, ovvero dipende da due grandezze. Siamo quindi di fronte ad un problema del tre composto.
A questo punto dobbiamo operare nel seguente modo:
- Chiederci se le grandezze sono direttamente o inversamente proporzionali a due a due;
- Impostare la proporzione per risolvere il problema.
Nel nostro caso prima ci chiediamo:
Al raddoppiare del peso di un tramezzino la quantità di farina necessaria per farlo raddoppia o dimezza? Ovviamente anche lei raddoppia quindi "farina" e "peso tramezzino" sono grandezze direttamente proporzionali.
Allora la nostra incognita e il numero ad esso corrispondente(240) avranno la stessa posizione nella proporzione: saranno entrambi a destra del simbolo di divisione o entrambi a sinistra del simbolo di divisione.
Poi ci chiediamo:
Al raddoppiare del numero di tramezzini anche i kg di farina necessari raddoppieranno?
Ovviamente si, allora anche queste due grandezze sono direttamente proporzionali tra loro e quindi, come prima, la nostra incognita e il numero ad esso corrispondente(850) avranno la stessa posizione nella proporzione: saranno entrambi a destra del simbolo di divisione o entrambi a sinistra del simbolo di divisione.
Impostiamo quindi la nostra proporzione come segue:
$$ 100 : x = 600 : 850 = 200 : 240 $$
Risolviamo proporzioni simili a queste in due passaggi:
Ignoriamo una delle due grandezze da cui l’incognita è dipendente, ad esempio il peso dei tramezzini:
La proporzione risultante è:
$$ 100 : x = 600 : 850 $$
Risolvendo poi la proporzione, applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni, risulta che
$$ 600 \times x = 100 \times 850 $$
$$ 600 \times x = 85000 $$
infine dividendo per 600 entrambi i membri abbiamo che:
$$ x = \frac{85000}{600} = 141,666 $$
Dunque per produrre 850 tramezzini il bar necessita di 141,666 kg di farina.
Adesso ignoriamo la grandezza che abbiamo sfruttato adesso, ovvero il numero di tramezzini e usiamo l’altra grandezza rimanente da cui l’ incognita è dipendente, ovvero il peso di ogni tramezzino.
Risulta quindi che:
$$ 141,666 : x = 200 : 240 $$
Risolvendo poi la proporzione, applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni, risulta che
$$ 200 \times x = 141,666 \times 240 $$
$$ 200 \times x = 33999,84 $$
infine dividendo per 200 entrambi i membri abbiamo che:
$$ x = \frac{33999,84}{200} = 169,9992 $$
Dunque per produrre 850 tramezzini da 240 grammi l’uno il bar necessita di 169,9992 kg di farina.