In questa e nelle prossime lezioni, continuiamo a parlare di equazioni esaminando di cosa stiamo parlando, la loro differenza con le identità e i diversi tipi di equazioni. Passeremo poi a vedere come si risolvono le equazioni di primo grado e soprattutto come possiamo usare questo strumento matematico per risolvere problemi teorici o quesiti più pratici.

In particolare, dopo aver analizzato il primo principio di equivalenza, passiamo a vedere come risolvere equazioni equivalenti utilizzando il secondo principio di equivalenza.

Ricordiamo che due equazioni sono equivalenti se hanno le stesse soluzioni e quindi un esempio potrà essere:

$$ 3x = 6 \qquad 30x = 60 $$

che infatti sono equazioni equivalenti

Secondo principio di equivalenza

Il secondo principio di equivalenza è una legge che ci permette di trasformare una equazione in una nuova equazione equivalente.

Formalmente, il secondo principio di equivalenza afferma che: se moltiplichiamo o dividiamo per la stessa quantità non nulla a entrambi i membri di una equazione, la nuova equazione così ottenuta è equivalente alla precedente.

Esempi
Abbiamo già visto un primo esempio di applicazione di questo principio negli esempio precedenti.
Infatti partendo dall’equazione

$$ 3x = 6 $$

moltiplicando per 10 entrami i membri otteniamo

$$ 30x =60 $$

Consideriamo la seguente equazione

$$ 3x +12 = 33 $$

che possiamo riscrivere nel modo seguente utilizzando la proprietà associativa:

$$ 3(x +4) = 33 $$

Possiamo dividere per 3 a entrambi i membri ottenendo

$$ x + 4 = \frac{33}{3} $$

$$ x+4 = 11 $$

Applicazione secondo principio

Una applicazione del secodno principio di equivalenza è il seguente:

Se trasportiamo un fattore da una parte all’altra del segno di uguaglianza portandolo al denominatore se era al numeratore o al numeratore se si trovava al denominatore otteniamo una equazione equivalente.

Chiaramente la precedente non è altro che un’applicazione del secondo principio di equivalenza delle equazioni in cui abbiamo moltiplicato o diviso il fattore che vogliamo trasportare da entrambi i membri.
Partiamo dalla seguente espressione,

$$ 3(x +4) = 33 $$

possiamo trasportare il fattore 3 dall’altra parte dell’uguaglianza cambiandogli la posizione, ottenendo una equazione equivalente.

$$ x + 4 = \frac{33}{3} $$

$$ x+4 = 11 $$

che è la stessa equazione che abbiamo ottenuto dividendo entrambi i membri dell’equazione per il numero 3.