Primo principio di equivalenza delle equazioni

In questa e nelle prossime lezioni, continuiamo a parlare di equazioni esaminando di cosa stiamo parlando, la loro differenza con le identità e i diversi tipi di equazioni. Passeremo poi a vedere come si risolvono le equazioni di primo grado e soprattutto come possiamo usare questo strumento matematico per risolvere problemi teorici o quesiti più pratici.

In particolare, in questa lezione parleremo di equazioni equivalenti utilizzando il primo principio di equivalenza e nella prossima invece approfondiremo il secondo principio di equivalenza.

Ricordiamo che una equazione non è nient’altro che un’uguaglianza fra due quantità, ossia:

3kg di pane = 6 euro

Matematicamente possiamo scrivere l’equazione precedente, nel modo seguente:

$$ 3x = 6 $$

Dove con \( x \) intendiamo il prezzo di pane al Kg.

Equivalenza di equazioni

Supponiamo di voler conoscere il prezzo del pane al chilo partendo dall’equazione dell’esempio precedente. Sappiamo cioè che tre chili di pane costano 6 euro. L’ informazione che ci da questa equazione è la stessa che avremmo con quest’altra equazione:

$$3x + 1 = 7$$

In altre parole, tre kg di pane più un euro = 7 euro. Le due equazioni sono equivalenti. Nel seguito daremo una definizione formale di equivalenza tra equazioni e vedremo come ottenere equazioni equivalenti utilizzando il primo principio di equivalenza.

Soluzione di un’equazione

Ricordiamo che per insieme delle soluzioni di una equazione si intende l’insieme di valori che si possono dare alle incognite in modo tale che una volta sostituiti questi valori alle incognite, si ottenga un’identità.

Nell’equazione precedente

$$ 3x = 6 $$

il valore \( x=2 \) è una soluzione per l’equazione

infatti, sostituendo si ottiene

$$ 3 \cdot 2 = 6 $$

Se cerchiamo la soluzione dell’equazione

$$ 3x + 1 = 7 $$

ci accorgiamo che il valore \( x=2 \) è ancora l’unica soluzione.

Definizione
Diciamo che due equazioni sono equivalenti se hanno le stesse soluzioni.

Le equazioni

$$ 3x = 6 \qquad 3x + 1 = 7 $$

ad esempio sono equazioni equivalenti

Primo principio di equivalenza

Il primo principio di equivalenza è una legge che ci permette di trasformare una equazione in una nuova equazione equivalente.

Formalmente, il primo principio di equivalenza afferma che: se aggiungiamo o sottraiamo la stessa quantità a entrambi i membri di una equazione, la nuova equazione così ottenuta è equivalente alla precedente.

Esempi
Abbiamo già visto un priimo esempio di applicazione di questo principio negli esempio precedenti.

Infatti partendo dall’equazione

$$ 3x = 6 $$

aggiungendo 1 a entrami i membri otteniamo

$$ 3x + 1 = 6+1 = 7 $$

Consideriamo la seguente equazione

$$ 3x +10 = 31 $$

Possiamo sottrarre 10 a entrambi i membri ottenendo

$$ 3x +10 -10 = 31 -10 $$

$$ 3x = 21 $$

Un’applicazione del primo principio di equivalenza è il seguente:

Se trasportiamo un addendo da una parte all’altra del segno di uguaglianza cambiandogli il segno otteniamo una equazione equivalente.

Chiaramente la precedente non è altro che un’applicazione del primo principio di equivalenza delle equazioni in cui abbiamo sommato o sottratto l’addendo che vogliamo trasportare da entrambi i membri.

Ora che abbiamo visto questo enunciato, possiamo vedere un esempio pratico per comprendere meglio la questione:

Partiamo dalla seguente espressione,

$$ 3x +10 = 31 $$

possiamo trasportare il 10 dall’altra parte dell’uguaglianza cambiandogli il segno, ottenendo una equazione equivalente.

$$ 3x = 31 -10 $$

$$ 3x = 21$$

che è la stessa equazione che abbiamo ottenuto sottraendo a entrambi i membri dell’equazione il numero 10.