Le funzioni trigonometriche ci permettono di ricavare interessanti relazioni tra i lati e gli angoli di un triangolo rettangolo. Possiamo considerare, infatti, l’ipotenusa di esso come il raggio di una circonferenza goniometrica e da li ricavare, attraverso le funzioni seno e coseno, i cateti del triangolo. Chiariamo ciò che abbiamo detto adesso esaminando il caso di un dato triangolo rettangolo.
Sia \(ABC\) un triangolo rettangolo con angolo retto in \(B\), \(\alpha\) l’angolo adiacente al punto \(A\) e \(\beta\) l’angolo adiacente al punto \(C\).
Considerando la circonferenza di centro \(A\) e raggio l’ipotenusa \(AC\) possiamo ricavare le seguenti relazioni tra i cateti e l’ipotenusa:
$$\overline{AB}=\overline{AC}cos(\alpha)$$
$$\overline{BC}=\overline{AC}sen(\alpha)$$
Considerando, invece, la circonferenza di centro \(C\) e raggio l’ipotenusa
$$\overline{BC}=\overline{AC}cos(\beta)$$
$$\overline{AB}=\overline{AC}sen(\beta)$$
Osservazione
Questo deriva dalla definizione di seno e coseno su una circonferenza di raggio \(AC\) e non di raggio \(1\) come avevamo visto.
Da qui in totale abbiamo
$$\overline{AB}=\overline{AC}cos(\alpha)= \overline{AC}sen(\beta)$$
$$\overline{BC}=\overline{AC}sen(\alpha)= \overline{AC}cos(\beta)$$
che ci da il seguente risultato:
La misura di un cateto di un triangolo rettangolo è uguale al prodotto tra l’ipotenusa e il coseno dell’angolo acuto ad esso adiacente oppure al prodotto tra l’ipotenusa e il seno dell’angolo acuto ad esso opposto
Facendo un ulteriore passaggio alle formule ricavate qui sopra, possiamo trovare una relazione per la misura dell’ipotenusa
$$\overline{AC}=\frac{\overline{AB} }{cos(\alpha)}= \frac{\overline{AB} }{ sen(\beta)}$$
$$\overline{AC}=\frac{\overline{BC} }{ sen(\alpha)}= \frac{\overline{BC} }{ cos(\beta)}$$
E a sua volta abbiamo un altro enunciato
La misura dell’ipotenusa di un triangolo rettangolo è uguale al quoziente tra la misura di un cateto e il coseno dell’angolo acuto ad esso adiacente oppure alla misura dello stesso cateto e il seno dell’angolo acuto ad esso opposto
Poiché abbiamo trovato
$$\overline{AC}=\frac{\overline{AB} }{cos(\alpha)}$$
$$\overline{AC}=\frac{\overline{BC} }{ sen(\alpha)}$$
sono uguali le seguenti
$$\frac{\overline{AB} }{cos(\alpha)} =\frac{\overline{BC} }{ sen(\alpha)}$$
Da qui ricaviamo le misure dei cateti:
$$\overline{AB} =\overline{BC}\cdot \frac{ cos(\alpha)} {sen(\alpha)}= \overline{BC} \cdot cotg(\alpha) $$
$$\overline{BC} =\overline{AB}\cdot \frac{ sen(\alpha)} {cos(\alpha)}= \overline{AB} \cdot tg(\alpha) $$
Oppure facendo un discorso analogo per
$$\overline{AC}=\frac{\overline{AB} }{ sen(\beta)}$$
$$\overline{AC}= \frac{\overline{BC} }{ cos(\beta)}$$
ricaviamo
$$\overline{AB} =\overline{BC}\cdot \frac{ sen(\beta)} {cos(\beta)}= \overline{BC} \cdot tg(\beta) $$
$$\overline{BC} =\overline{AB}\cdot \frac{ cos(\beta)} {sen(\beta)}= \overline{AB} \cdot cotg(\beta) $$
In definitiva abbiamo che
$$\overline{AB} =\overline{BC} \cdot cotg(\alpha)= \overline{BC} \cdot tg(\beta) $$
$$\overline{BC} = \overline{AB} \cdot tg(\alpha)= \overline{AB} \cdot cotg(\beta) $$
Questo ci da un terzo enunciato
La misura di un cateto di un triangolo rettangolo è uguale al prodotto della misura dell’altro cateto per la tangente dell’angolo acuto ad esso adiacente oppure per la cotangente dell’angolo acuto ad esso opposto
Conseguenze: Area del triangolo
Con le relazioni che abbiamo trovato, possiamo ricavare l’area di un triangolo qualsiasi conoscendo solamente la misura di due lati e dell’angolo ad essi adiacente. Prendiamo, quindi, un triangolo \(ABC\) di cui conosciamo soltanto le lunghezze di \(AB\) e \(AC\) e l’angolo \(\alpha\) adiacente ad \(A\). Fissando come base del triangolo \(AB\), avremo che l’altezza sarà il segmento dato dalla retta perpendicolare in \(AB\)