Il teorema di Rolle è un risultato che ci permette di capire come è fatta una funzione in un suo intervallo chiuso. È strettamente collegato al teorema di Lagrange e al teorema di Cauchy infatti, dimostrando uno di questi, si possono dimostrare facilmente gli altri due. Prima di dare un enunciato del teorema, enunciamo (senza dimostrarli) il teorema di Weierstrass e il teorema di Fermat poiché ci saranno utili nella dimostrazione.

Teorema di Weierstrass

Sia \([a,b]\) un intervallo chiuso e limitato non vuoto in \(\mathbb{R}\) e sia \(f:[a,b]\to\mathbb{R}\) una funzione continua. Allora \( f(x)\) in \([a,b]\) ammette un punto di massimo assoluto e un punto di minimo assoluto.

Teorema di Fermat

Sia \(f:[a,b]\to\mathbb{R}\) una funzione e sia \(x_0\) un punto critico (o punto di estremo locale o punto estremante) di \(f\). Se \(f\) è derivabile in \(x_0\) allora \(f’(x_0)=0 \).

Enunciamo ora il teorema di Rolle!

Teorema di Rolle

Sia \(f\) una funzione definita in un intervallo chiuso \([a,b]\) che abbia le seguenti caratteristiche:

  • \(f\) è continua in \([a,b]\);
  • \(f\) è derivabile in \((a,b)\), cioè \(f\) è derivabile in ogni punto interno dell’intervallo;
  • \(f\) assume valori uguali negli estremi \(a\) e \(b\) dell’intervallo \([a,b]\), cioè \(f(a)= f(b)\);

allora esiste un punto \(c\) all’interno dell’intervallo \([a,b]\) in cui la derivata prima di \(f\) si annulla, scritto in formule \(f’(c)=0\).

Dimostrazione

Poiché \(f\) è continua in \([a,b]\), per il teorema di Weierstrass la funzione ammette massimo e minimo assoluti nell’intervallo. Quindi, chiamati \(M\) il valore del massimo assoluto e \(m\) il valore del minimo assoluto nell’intervallo \([a,b]\), abbiamo due casi:

  • Se il massimo e il minimo assoluti coincidono, cioè \(M=m\), la funzione è costante in tutto l’intervallo e la sua derivata è nulla in ogni punto di \([a,b]\), quindi anche in un punto \(c\) generico. In questo caso il teorema è dimostrato.
  • Se \(M\neq m\), poiché per ipotesi \(f(a)= f(b)\), almeno uno tra i valori \(M\) e \(m\) è assunto in un punto \(c\) all’interno dell’intervallo. Sia, per esempio, il massimo \(M\) assunto all’interno dell’intervallo nel punto \(c\), quindi in formule \(f(c)= M\). Ora, poiché \(c\) è un punto di estremo locale e \(f\) è derivabile in tutto \((a,b)\), \(f’(c)=0\) per il teorema di Fermat.

Questo conclude in definitiva la dimostrazione del teorema.

Esempi

Stabilire se è possibile applicare il teorema di Rolle per le seguenti funzioni, in caso affermativo trovare il punto interno all’intervallo per cui la derivata si annulla.

  • \(f(x)=1-cos(x)\) nell’intervallo \([0,2\pi]\);
    La funzione \(f(x)=1-cos(x)\) è continua in \([0,2\pi]\), derivabile in \((0,2\pi)\) e agli estremi vale \(f(0)= f(2\pi)=0\). Quindi siamo nelle ipotesi del teorema di Rolle!
    Infatti derivando la funzione abbiamo che:

    $$ f’(x)=sen(x)$$


    ora \(f’(x)\) è \(0\) in \(\pi\):

    $$ f’(\pi)=sen(\pi)=0$$


    e abbiamo trovato il punto interno all’intervallo per cui la derivata si annulla.
  • \(f(x)=|x|\) nell’intervallo \([-1,1]\);
    Qui la funzione è continua nell’intervallo \([-1,1]\) e agli estremi vale \(f(-1)= f(1)=1\). Ma non è derivabile in \((-1,1)\) poiché in >\(0\) il modulo non è derivabile. Non si può applicare il teorema di Rolle!
  • \(f(x)=x^2\) nell’intervallo \([-2,1]\);
    La funzione \(f(x)\) è continua in \([-2,1]\) e derivabile in \((-2,1)\), ma agli estremi vale \(f(-2)=4\neq 1= f(1)\). Non si può applicare il teorema di Rolle!

Osservazione

Le ipotesi messe in evidenza dal teorema sono tre; il cadere di anche una di esse non garantisce più l’esistenza del punto \(c\). Questo non significa che non esiste alcun punto critico, la sua esistenza non è più certa.