Il teorema di Lagrange è un teorema molto usato in matematica. Esso ci fornisce importanti informazioni su una funzione continua e derivabile in un intervallo ed è anche molto usato per fare delle stime sulle funzioni. È strettamente legato al teorema di Rolle e al teorema di Cauchy.
Prima di dare una dimostrozione bisogna sottolineare che è fondamentale conoscere l’enunciato del teorema di Rolle, poiché lo useremo per dimostrare questo importante risultato. Quindi, per chiunque non lo avesse vista, consiglio di leggere la lezione sul teorema di Rolle.

Teorema di Lagrange

Sia \(f(x)\) una funzione definita in un intervallo chiuso \([a,b]\) con le seguenti caratteristiche:

  • \(f\) è continua in \([a,b]\);
  • \(f\) è derivabile in \((a,b)\), cioè in ogni punto interno all’intervallo \([a,b]\);

allora esiste almeno un punto \(c\) interno ad \([a,b]\) tale che:

$$\frac{f(b)- f(a)}{b-a}=f’(c)$$

Dimostrazione

Come già detto in precedenza vogliamo usare il teorema di Rolle per provare l’asserto. Per questo, consideriamo la funzione ausiliaria:

$$h(x)= f(x)- \biggl[f(a)+ \frac{f(b)- f(a)}{b-a}(x-a)\biggl] $$


Per brevità, chiamiamo:

$$g(x)= f(a)+ \frac{f(b)- f(a)}{b-a}(x-a)$$


così che:

$$h(x)= f(x)- g(x)$$


Notiamo che \(g(x)\) rappresenta la retta passante per i punti \((a, f(a))\) e \((b, f(b))\) del grafico della funzione \((x, f(x))\), con coefficiente angolore \(\frac{f(b)- f(a)}{b-a}\).
Continuando la dimostrazione del teorema, si verifica subito che:

$$h(a)= f(a)- g(a)=0$$


$$h(b)= f(b)- g(b)=0$$


Ora ci domandiamo \(h\) è continua in \([a,b]\)?
Si, perché \(h\) è somma delle funzioni continue \(f\) e \(g\) in \([a,b]\). Dove \(f\) è continua in \([a,b]\) per le ipotesi del teorema e \(g\) è continua in \([a,b]\) poiché è una retta, ovvero un polinomio di primo grado.
\(h\) è derivabile in \((a,b)\)?
Si, perché \(h\) è somma delle funzioni derivabili \(f\) e \(g\) in \((a,b)\). Dove \(f\) è derivabile in \((a,b)\) per le ipotesi del teorema e \(g\) è derivabile in \((a,b)\) poiché è un polinomio di primo grado.
Siamo sotto le ipotesi del teorema di Rolle!!! Quindi esiste almeno un punto \(c\) in \([a,b]\) per cui la derivata di \(h\) si annulla:

$$h’(c)= f’(c)- g’(c)=0$$


dove:

$$g’(c)= \frac{f(b)- f(a)}{b-a}$$


poichè la derivata di \(g\) e uguale a \(\frac{f(b)- f(a)}{b-a}\) per ogni \(x\). Concludendo abbiamo:

$$f’(c)- g’(c)=0$$


$$f’(c)- \frac{f(b)- f(a)}{b-a}=0$$


$$ f’(c)=\frac{f(b)- f(a)}{b-a}$$


è quello che volevamo dimostrare!

Esempi

  • Sia \(f(x)=3ln(x)+x-1\) nell’intervallo \([1,3]\), trovare \(c\) tale che:

    $$f’(c)= \frac{f(3)- f(1)}{3-1}$$


    Svolg. Prima di tutto ci domandiamo: esiste tale \(c\)?
    La funzione \(f\) è continua e derivabile nell’intervallo \([1,3]\) (a maggior ragione è derivabile in \((1,3)\)), quindi vale il teorema di Lagrange e questo ci garantisce l’esistenza di \(c\). Ora:

    $$f’(x)= \frac{3}{x}+1$$


    Calcolata in c:

    $$f’(c)= \frac{3}{c}+1$$


    Quindi:

    $$\frac{3}{c}+1= \frac{f(3)- f(1)}{3-1}=\frac{3ln(3)+2}{2}$$


    $$\frac{3}{c}=\frac{3ln(3)}{2}$$


    $$c=\frac{6}{3ln(3)}=2.7$$

  • Dire se si può applicare il teorema di Lagrange alla funzione:

    $$ f(x)= \begin{cases} x^2cos(\frac{1}{x})\quad\>se\>x\neq 0\\\ 0\quad\>se\>x=0 \end{cases}$$


    nell’intervallo \([0,3]\).
    Svolg. La funzione \(f(x)\) è continua sicuramente nell’intervallo \((0,3]\) poiché \(x^2cos(\frac{1}{x})\) è continua per ogni \(x\) diverso da \(0\), bisogna vedere se in \(0\) mantiene la sua continuità! Come facciamo? Studiamo questo limite:

    $$\lim_{x\rightarrow 0^+} x^2cos(\frac{1}{x})$$


    e se fa \(0\), la funzione \(x^2cos(\frac{1}{x})\) si incolla bene con lo \(0\) e quindi \(f(x)\) è continua in \(0\). Dallo studio dei limiti di funzione sappiamo:

    $$\lim_{x\rightarrow 0^+} x^2cos(\frac{1}{x})=0$$


    Quindi la \(f(x)\) è continua in \([0,3]\)!!
    Per la derivabilità non abbiamo nessun problema poiché \(x^2cos(\frac{1}{x})\) è derivabile per ogni \(x\) in \((0,3)\).