Lo studio del grafico di una funzione è un procedimento che ci consente di disegnare, appunto, il grafico della funzione nel piano cartesiano. Esso consta di vari passaggi e richiede una buona padronanza di argomenti preliminari. Presentiamo il problema:
Sia \(f\) una funzione reale a valori reali
$$f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$
per disegnarla sul piano cartesiano dobbiamo seguire i seguenti passaggi:
- Trovare il dominio della funzione;
- Trovare (eventuali) simmetrie;
- Intersezioni con gli assi coordinati;
- Studiare il segno della funzione;
- Trovare gli asintoti;
- Calcolare la derivata prima e poi studiare gli intervalli di crescenza (monotonia) e massimi e minimi;
- Calcolare la derivata seconda e poi studiare i flessi e la concavità;
Studio del dominio
Il primo passaggio è calcolare il dominio della funzione, per vedere dove \(f\) è ben definita in \(\mathbb{R}\) (ha punti di discontinuità? Ha insiemi dove non può essere definita?).
A seconda del tipo di funzione procediamo col calcolo del dominio come abbiamo già fatto nell’articolo “Dominio di una funzione: come si trova?”.
Simmetrie
Trovare eventuali simmetrie vuol dire verificare se \(f\) è una funzione pari o una funzione dispari.
- \(f\) si dice pari se per ogni \(x\) del suo dominio accade
$$f(-x)=f(x) $$
e in questo caso la funzione è simmetrica rispetto all’asse delle \(y\). - \(f\) si dice dispari se per ogni \(x\) del suo dominio accade
$$f(-x)=-f(x) $$
e la funzione è simmetrica rispetto all’origine degli assi coordinati.
Se una funzione è simmetrica, possiamo studiarne il grafico solo per \(x\ge 0\) e poi fare la simmetria del grafico trovato.
Intersezioni con gli assi coordinati
Si tratta di calcolare le coordinate dei punti in cui la funzione incontra gli assi coordinati. In parole povere, bisogna risolvere i seguenti sistemi:
- Intersezioni con l’asse \(x\)
$$\begin{cases} y=f(x)\\ x=0 \end{cases}$$
- Intersezioni con l’asse \(y\)
$$\begin{cases} y=f(x)\\ y=0 \end{cases}$$
Studio del segno della funzione
Serve per capire dove passa il grafico della funzione. Per farlo, dobbiamo risolvere la disequazione \(f(x) \ge 0\), che ci dà gli intervalli di positività e di negatività di \(f\). Ora:
- Per i valori \(x\) per cui la funzione è \(f(x)>0\), la funzione si trova sopra l’asse delle ascisse;
- Per i valori \(x\) per cui la funzione è \(f(x)<0\), la funzione si trova sotto l’asse delle ascisse;
Studio degli asintoti
Qui si tratta di calcolare il limite della funzione negli estremi del dominio, calcolato nel primo passo. Ci sono tre tipi di asintoti possibili: asintoti verticali, asintoti orizzontali e asintoti obliqui.
- Asintoti verticali
Si può avere un asintoto verticale nei punti di discontinuità del dominio. Sia \(x_0\) un punto di discontinuità allora dobbiamo calcolare:
$$\lim_{x\rightarrow x_0^+} f(x) \quad e \quad \lim_{x\rightarrow x_0^-} f(x)$$
se danno come risultato \(\pm \infty\) allora \(y=x_0\) è l’asintoto verticale cercato. Ovviamente il comportamento della funzione vicino all’asintoto è differente a seconda se i due limiti qui sopra vengono più o meno infinito. - Asintoti orizzontali
Basta calcolare i limiti:
$$\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x) \quad e \quad \lim_{x\rightarrow -\infty} f(x)$$
se uno dei due limiti (o ambedue) da come risultato una costante avremo un asintoto orizzontale rispettivamente a più o meno infinito. - Asintoti obliqui
Sono asintoti del tipo \(y=mx+q\). Per trovare i fattori \(m\) e \(q\) dobbiamo imporre:
$$m=\lim_{x\rightarrow \pm \infty} \frac{f(x)}{x}$$
$$q=\lim_{x\rightarrow \pm \infty} f(x)-mx$$
se uno dei due limiti (o ambedue) da come risultato una costante avremo un asintoto obliquo rispettivamente a più o meno infinito.
Osservazione
Notiamo che per \(m=0\) l’asintoto obliquo è un asintoto orizzontale.
Studio della derivata prima
Dobbiamo fare 3 passi qui:
- Calcolare la derivata prima della funzione \(f(x) \), \( f’(x) \);
- Studiare gli intervalli di crescenza e decrescenza della funzione: basta risolvere la disequazione \( f’(x) \ge 0\).
Se \( f’(x) \ge 0\) in un intervallo, allora la funzione è crescente nell’intervallo;
Se \( f’(x) < 0\) in un intervallo, allora la funzione è decrescente nell’intervallo; - Trovare i massimi e minimi locali della funzione.
Se risolviamo l’equazione \( f’(x) = 0\) otteniamo i valori \( x_0\) del dominio per cui la funzione assume massimo o minimo locale. Ora non ci resta che calcolare la funzione in \( x_0\) e avremo il valore massimo o minimo nel punto. Come capire se è massimo o minimo? Possiamo capirlo dallo studio degli intervalli di crescenza e decrescenza!! Se la funzione cresce e poi decresce dopo aver assunto il valore massimo o minimo, allora avremo un punto di massimo;
Viceversa avremo un punto di minimo;
Studio della derivata seconda
Anche qui dobbiamo fare 3 passi:
- Calcolare la derivata seconda della funzione \(f(x) \), \( f’’(x) \);
- Studiare la concavità e la convessità della funzione: come prima, basta risolvere la disequazione \( f’’(x) \ge 0\).
Se \( f’’(x) \ge 0\) nell’intervallo, allora la funzione è convessa nell’intervallo;
Se \( f’’(x) < 0\) nell’ intervallo, allora la funzione è concava nell’intervallo;
- Calcolare i punti di flesso della funzione.
Basta risolvere l’equazione \( f’’(x) = 0\) otteniamo i valori \( x_0\) del dominio per cui la funzione assume un punto di flesso. Come prima, basta sostituire il valore \( x_0\) alla funzione \(f\) ed il gioco è fatto!!
Abbiamo tutti gli ingredienti per disegnare il grafico della funzione!!!