In questa lezione parliamo di un po’ di trigonometria. In particolare definiremo le due funzioni cardine della trigonometria: la funzione coseno e la funzione seno.

Definizione delle funzioni coseno e seno

Per partire prendiamo in considerazione due triangoli rettangoli simili. Per il teorema di talete sui triangoli simili, sappiamo che dimensioni corrispondenti staranno in proporzione ad altre dimensioni corrispondenti.

Per intenderci il rapporto tra le due ipotenuse sarà lo stesso che tra i due cateti corrispondenti oppure, utilizzando le proprietà di equivalenza tra proporzioni, il rapporto tra l’ipotenusa e il cateto di un triangolo sarà lo stesso che il rapporto fra l’ipotenusa dell’altro triangolo e il cateto corrispondente al primo.

In particolare, il rapporto tra un cateto e un l’ipotenusa è invariante per similitudine: preso un altro triangolo simile e calcolando lo stesso rapporto, il risultato sarà lo stesso.

Questo è dovuto al fatto che nei due triangoli, l’angolo tra l’ipotenusa e il cateto è lo stesso e in qualche senso il rapporto di queste due grandezze ci da una misura dell’angolo tra queste due quantità geometriche.

Definizione
Si definisce il coseno di un angolo \( \alpha \) come il rapporto tra il cateto e l’ipotenusa di un qualunque triangolo rettangolo per cui l’angolo tra il l’ipotenusa e il cateto è proprio l’angolo \( \alpha \)

Il coseno dell’angolo si indica

$$ cos(\alpha) $$

Analogamente diamo la definizione di seno di un angolo.

Si definisce il seno di un angolo \( \alpha \) come il rapporto tra il cateto e l’ipotenusa di un qualunque triangolo rettangolo per cui l’angolo tra il l’ipotenusa e l’altro cateto del triangolo è proprio l’angolo \( \alpha \)

Il seno dell’angolo si indica

$$ sen(\alpha) $$

Circonferenza goniometrica

Nella precedente sezione abbiamo visto che il coseno e il seno di un angolo non dipendono dallo speciale triangolo rettangolo che abbiamo usato per calcolarlo. Vogliamo quindi dare una definizione di seno e coseno che sia indipendente dalla scelta del triangolo.

Per fare questo consideriamo un piano cartesiano e tracciamo una circonferenza con centro nell’origine degli assi e raggio unitario (raggio r = 1)

Possiamo identificare ogni angolo \( \alpha \) tra 0° e 360° disegnando una semiretta che ha origine proprio nel centro della circonferenza .

Questa semiretta incontra la circonferenza in un punto P. Proiettiamo questo punto sull’ asse delle ascisse: si viene così a formare un triangolo rettangolo.

Per definizione avremo che il coseno di questo angolo non è altro che il rapporto tra la lunghezza del cateto del triangolo e la sua ipotenusa. Ma il cateto del triangolo non è altro che la proiezione del punto P sull’asse delle x e l’ipotenusa, per come abbiamo costruito la circonferenza ha lunghezza 1 perché non è altro che un raggio della circonferenza.

In altre parole, il coseno dell’angolo non è altro che la lunghezza della proiezione del punto P sull’asse x.

Allo stesso modo si ha che il seno dell’angolo non è altro che la lunghezza della proiezione del punto P suall’asse delle y.

Come ultima osservazione enunciamo l’identità fondamentale della trigonometria. Per il teorema di Pitagora, essendo per qualunque angolo \( \alpha\), seno e coseno, i cateti di un triangolo rettangolo che ha ipotenusa uguale ad 1, si ha

$$ cos(\alpha)^2 + sin(\alpha)^2 = 1 $$