Non si può parlare di regole di derivazione senza aver chiara la nozione di derivata di una funzione! Andiamo quindi prima a vedere cos’è la derivata di una funzione e poi cerchiamo di capire meglio cosa sono le regole di derivazione e come funzionano, così da fare anche alcuni esempi.
Derivata di una somma di funzioni
Siano \(f(x)\) e \(g(x)\) due funzioni derivabili in un generico punto \(x\), allora
$$D[f(x)+ g(x)]=f’(x)+g’(x)$$
dimostrazione:
andiamo a dimostrare questa formula. Sia \(F(x)= f(x)+ g(x)\), allora per la definizione di derivata abbiamo
$$F’(x)= \lim_{h \to 0 }\frac{ F(x+h)-F(x)}{ h}= \lim_{h \to 0 }\frac{ f(x+h)+ g(x+h)- f(x)- g(x)}{ h}=$$
$$=\lim_{h \to 0 }\frac{ f(x+h)-f(x)}{ h}+\lim_{h \to 0 }\frac{ g(x+h)-g(x)}{ h}= f’(x)+g’(x)$$
e questo prova l’asserto.
Derivata del prodotto di una costante per una funzione
Sia \(f(x)\) una funzione derivabile in \(x\) e \(k\) una costante reale, vale
$$D[kf(x)]=kf’(x)$$
dimostrazione:
Di nuovo sia \(F(x)= kf(x)\), avremo
$$F’(x)= \lim_{h \to 0 }\frac{ F(x+h)-F(x)}{ h}=\lim_{h \to 0 }\frac{ kf(x+h)-kf(x)}{ h}=$$
$$=\lim_{h \to 0 }\frac{ k(f(x+h)-f(x))}{ h}=k\lim_{h \to 0 }\frac{ f(x+h)-f(x)}{ h}=kf’(x)$$
Derivata del prodotto di due funzioni
Siano \(f(x)\) e \(g(x)\) due funzioni derivabili in \(x\), allora
$$D[f(x)g(x)]=f’(x) g(x)+ f(x)g’(x)$$
dimostrazione:
Sia \(F(x)= f(x) g(x)\)
$$\lim_{h \to 0 }\frac{ F(x+h)-F(x)}{ h}=\lim_{h \to 0 }\frac{ f(x+h) g(x+h)-f(x)g(x)}{ h}=$$
aggiungendo e sottraendo \( f(x) g(x+h)\) al numeratore il limite diventa
$$=\lim_{h \to 0 }\frac{ f(x+h) g(x+h)- f(x) g(x+h)+ f(x) g(x+h)-f(x)g(x)}{ h}=$$
e raccogliendo a fattor comune…
$$=\lim_{h \to 0 }\frac{ g(x+h)(f(x+h)- f(x))}{ h}+\lim_{h \to 0 }\frac{ f(x)( g(x+h)-g(x))}{ h}=$$
$$=g(x)f’(x) + f(x)g’(x)$$
Che è proprio quello che volevamo.
Derivata del quoziente di due funzioni
Siano \(f(x)\) e \(g(x)\) due funzioni derivabili in \(x\)
$$D\biggl[\frac{f(x)}{g(x)}\biggl]=\frac{f’(x) g(x)- f(x)g’(x)}{ g(x)^2}$$
dimostrazione:
Sia \(F(x)= \frac{f(x)}{ g(x)}\)
$$\lim_{h \to 0 }\frac{ F(x+h)-F(x)}{ h}=\lim_{h \to 0 }\frac{\frac{ f(x+h)}{ g(x+h)}-\frac{f(x)}{g(x)}}{ h}=$$
$$=\lim_{h \to 0 }\frac{f(x+h) g(x)-f(x)g(x+h)}{g(x+h) g(x)} \frac{1}{h}=$$
aggiungendo e sottraendo \( f(x) g(x)\) al numeratore
$$=\lim_{h \to 0 }\frac{f(x+h) g(x) -f(x) g(x) +f(x) g(x)-f(x)g(x+h)}{h} \frac{1}{ g(x+h) g(x)}=$$
$$=\lim_{h \to 0 }\frac{ g(x) (f(x+h) -f(x)) +f(x) (g(x)-g(x+h))}{h} \frac{1}{ g(x+h) g(x)}=$$
$$=\lim_{h \to 0 }\biggl(g(x) \frac{f(x+h) -f(x)}{h} -f(x) \frac{g(x+h)-g(x)}{h} \biggl) \frac{1}{ g(x+h) g(x)}=$$
$$=\frac{ g(x)f’(x)- f(x)g’(x)}{ g(x)^2}$$
Derivata della tangente e della cotangente
- \(D[tg(x)]=D\biggl[\frac{sen(x)}{cos(x)}\biggl]=\frac{cos(x)cos(x)- sen(x) (-sen(x))}{cos^2(x)}=\frac{cos^2(x)+sen^2(x)}{cos^2(x)}= \frac{1}{cos^2(x)}\)
- \(D[cotg(x)]=D\biggl[\frac{cos(x)}{sen(x)}\biggl]=\frac{(-sen(x))sen(x)- cos(x) cos(x)}{sen^2(x)}=-\frac{sen^2(x)+cos^2(x)}{sen^2(x)}= -\frac{1}{sen^2(x)}\)
Derivata di una funzione composta
Siano \(f(z)\) e \(z=g(x)\) due funzioni derivabili rispettivamente in \(z\) e in \(x\) allora
$$D[(f(g(x)))]= f’(g(x)) g’(x)$$
con \(f’(g(x))\) intendiamo la derivata di \(f\) calcolata in \(z=g(x)\).
dimostrazione:
Sia \(F(x)= f(g(x))\)
$$\lim_{h \to 0 }\frac{ F(x+h)-F(x)}{ h}=\lim_{h \to 0 }\frac{ f(g(x+h))- f(g(x))}{ h}=$$
moltiplichiamo e dividiamo per \(g(x+h)- g(x)\)
$$=\lim_{h \to 0 }\frac{ f(g(x+h))- f(g(x))}{g(x+h)- g(x)} \frac{g(x+h)- g(x)}{h}=$$
$$=\lim_{h \to 0 }\frac{ f(g(x+h))- f(g(x))}{g(x+h)- g(x)} \lim_{h \to 0 }\frac{g(x+h)- g(x)}{h}=$$
ora facendo il cambio di variabile \(k=g(x+h)- g(x)\) e notando che per \(h\) che tende a \(0\) anche \(k\) tende a \(0\), il primo limite diventa:
$$=\lim_{k \to 0 }\frac{ f(g(x)+k)- f(g(x))}{k} \lim_{h \to 0 }\frac{g(x+h)- g(x)}{h}=$$
ma \(f\) era derivabile in \(z=g(x)\), quindi:
$$= f’(g(x)) g’(x)$$
Derivate funzioni esponenziali con base variabile
Siano \(f(x)\) e \(g(x)\) due funzioni derivabili in un generico punto \(x\) e \(f(x)>0\)
$$D[(f(x))^{ g(x)}]= (f(x))^{ g(x)} \biggl(g’(x)ln(f(x))+\frac{g(x)f’(x)}{ f(x)}\biggl)$$
Infatti:
Posso riscrivere:
$$(f(x))^{ g(x)}=e^{ln(f(x))^{ g(x)}}= e^{ g(x)ln(f(x))}$$
e ora applicando la formula della derivata composta avremo
$$ D[e^{ g(x)ln(f(x))}]=e^{ g(x)ln(f(x))}D[g(x)ln(f(x))]=$$
applichiamo la formula della derivata del prodotto
$$=e^{ g(x)ln(f(x))}(g’(x)ln(f(x))+g(x)D[ln(f(x))])=$$
infine, facendo l’ultima derivata composta, arriviamo alla nostra formula
$$=(f(x))^{ g(x)} \biggl(g’(x)ln(f(x))+\frac{g(x)f’(x)}{ f(x)}\biggl)$$