In questa lezione parliamo di una delle due funzioni anticipate nella scorsa lezione -dedicata ad un introduzione elementare del concetto di funzione- mostrandone le proprietà e parlando del suo grafico: la proporzionalità diretta.
Diremo che due grandezze sono direttamente proporzionali se sono legate dalla seguente funzione
$$ y = K \times x $$
Cioè se per ottenere la grandeza y basta moltiplicare per $K$ la grandezza $x$.
Equivalentemente divedendo per $x$ da entrambe le parti otteniamo
$$ \frac{y}{x} = K $$
cioè, due grandezze sono proporzionali se il loro rapporto è costante.
Esempio
Sicuramente abbiamo in mente tantissimi esempi di grandezze che sono direttamente proporzionali.
- x = lato del quadrato, y= perimetro del quadrato
La legge che lega queste due grandezze è
$$y= 4 \times x $$
Come abbiamo fatto nella scorsa lezione, vediamo la tabellina che viene fuori assegnando dei valori alla variabile indipendente $x$
$$x = \qquad 1 \qquad 2 \qquad 3 \qquad 4 \qquad 5 \qquad 6 \dots $$
$$y = \qquad 4 \qquad 8 \qquad 12 \qquad 16 \qquad 20 \qquad 24 \dots $$
- Un altro esempio potrebbe essere il legame tra giorni di lavoro e paga supponendo che ogni giorno la paga sia di 10 euro.
Posto
$x$ = giorni di lavoro, $ y$ = paga
La legge che lega queste due grandezze è
$$y= 10 \times x $$
Come abbiamo fatto nella scorsa lezione, vediamo la tabellina che viene fuori assegnando dei valori alla variabile indipendente $x$
$$x = \qquad 1 \qquad 2 \qquad 3 \qquad 4 \qquad 5 \qquad 6 \dots $$
$$y = \qquad 10 \qquad 20 \qquad 30 \qquad 40 \qquad 50 \qquad 60 \dots $$
Possiamo dire che due grandezze sono direttamente proporzionali se crescono allo stesso modo: raddoppia la $x$, allora raddoppia anche la corrispondente $y$, triplica la $x$, allora triplica anche la corrispondente $y$, e così via.
Relazione tra proporzionalità diretta e proporzioni
Due grandezze in proporzionalità diretta hanno la proprietà che corrispondenti valore di x e y stanno in proporzione nel seguente modo:
$$ y_1 : x_1 = y_2 : x_2 $$
Prendiamo ad esempio la tabellina trovata dalla relazione tra lato e perimetro del quadrato:
$$x = \qquad 1 \qquad 2 \qquad 3 \qquad 4 \qquad 5 \qquad 6 \dots $$
$$y = \qquad 4 \qquad 8 \qquad 12 \qquad 16 \qquad 20 \qquad 24 \dots $$
Abbiamo
$$ 4 : 1 = 8 : 2 $$
$$ 4 : 1 = 16 : 4 $$
Rappresentazione grafica
Per finire possiamo parlare della rappresentazione grafica della funzione che lega due grandezze in proporzionalità diretta
$$ y = K \times x $$
Se prendiamo le coppie di punti della tabellina e li uniamo sul piano cartesiano noteremo la seguente proprietà: i punti sono allineati.
Detto in un altro modo, si ha che il grafico della funzione che rappresenta la proporzionalità diretta è una linea retta.