Che cos’è il prodotto vettoriale?
Mettiamoci nel piano cartesiano avente 3 assi coordinati, cioè nello spazio. Se abbiamo due vettori \(v\) e \(w\) è possibile trovarne un terzo tale che abbia direzione ortogonale a entrambi?

  • se \(v\) e \(w\) sono vettori paralleli tra loro la risposta è negativa, poiché abbiamo una sola direzione nello spazio (\(v\) e \(w\) hanno la stessa direzione) e quindi infinite direzioni ortogonali (si verifica ma concentriamoci su quello che vogliamo introdurre);
  • se \(v\) e \(w\) non sono paralleli tra di loro la risposta è affermativa.

Ci serve quindi un operatore che dati due vettori ci restituisce un terzo vettore ortogonale ad entrambi, per questo si introduce il prodotto vettoriale. Prima di vedere quanto vale questo prodotto, ci serve ricordare che se il prodotto scalare tra due vettori è \(0\) allora i due vettori sono ortogonali tra loro: andiamo a sfruttare questa informazione. Siano

$$v=(\begin{array}{c} v_1, & v_2, & v_3 \\ \end{array}) \>\>\> w=(\begin{array}{c} w_1, & w_2, & w_3 \\ \end{array})$$


due vettori non paralleli tra loro, imponiamo l’ortogonalità di entrambi con il vettore

$$z=(\begin{array}{c} a, & b, & c \\ \end{array})$$


facendo il prodotto scalare tra \(v\) e \(z\) e imponendolo uguale a zero

$$z\cdot v=av_1+bv_2+cv_3=0$$


e tra \(w\) e \(z\) e facciamo come prima

$$z\cdot w=aw_1+bw_2+cw_3=0$$


avremo un sistema a 2 equazioni a 3 incognite

$$\begin{cases} av_1+bv_2+cv_3=0\\ aw_1+bw_2+cw_3=0 \end{cases}$$


e tutte le soluzioni di questo ci darebbero una direzione ortogonale a \(v\) e \(w\). Notiamo che:

$$z=(\begin{array}{c} v_2w_3-v_3w_2, & v_3w_1-v_1w_3, & v_1w_2-v_2w_1 \\ \end{array})$$


è una soluzione: basta andare a sostituire queste componenti e vedere che verificano il sistema. Quindi abbiamo trovato il nostro prodotto vettoriale!

Definizione prodotto vettoriale

Siano \(v\) e \(w\) due vettori. Si dice prodotto vettoriale l’operazione che gli associa un terzo vettore indicato con
\(v\times w\) ed è ottenuto da:

$$ v\times w=( \begin{array}{c} v_2w_3-v_3w_2, & v_3w_1-v_1w_3, & v_1w_2-v_2w_1 \\ \end{array})$$

Proprietà algebriche del prodotto vettoriale

Siano \(v\), \(w\) e \(z\) vettori nello spazio e \(c\) una costante reale, allora valgono le seguenti proprietà:

  • vale la proprietà antisimmetrica:

    $$v\times w=-w\times v $$

  • vale:

    $$v\times v=\bar0$$


    inteso come vettore con tutte le componenti uguali a 0.
  • NON vale la proprietà associativa.
  • è bilineare:

    $$cv\times w=c(v\times w)=v\times cw$$

  • vale la proprietà distributiva rispetto alla somma di vettori:

    $$v\times(w+z)= v\times w+v\times z$$


    $$(v+w)\times z= v\times z+w\times z $$

  • vale l’identità di Jacobi:

    $$v\times(w\times z)+ w\times(z\times v)+ z\times(v\times w)=0$$

Inoltre se \(i\), \(j\) e \(k\) sono versori, cioè sono vettori tra loro ortogonali e tali che il loro modulo \(|v|\), \(|w|\) e \(|z|\) è uguale a 1, valgono le seguenti:

$$i\times j=k\>\>\>j\times k=i\>\>\>k\times i=j$$


$$j\times i=-k\>\>\>k\times j=-i\>\>\>i\times k=-j$$

Scrittura compatta del prodotto vettoriale

Oltre alla forma che abbiamo dato come definizione di prodotto vettoriale esiste una scrittura più compatta del prodotto vettoriale e si ricava notando che il modulo di \(v\) per il modulo di \(w\) al quadrato è uguale a:

$$|v|^2|w|^2=|v|^2|w|^2cos^2\theta+|v|^2|w|^2sin^2\theta$$


quindi

$$|v|^2|w|^2sin^2\theta =|v|^2|w|^2-|v|^2|w|^2cos^2\theta$$


ma \(|v||w|cos\theta\) non è altro che la forma compatta del prodotto scalare di due vettori

$$|v|^2|w|^2sin^2\theta =|v|^2|w|^2-|v\cdot w|^2$$


ora svolgendo le operazioni a secondo membro notiamo che il risultato è uguale a \(|v\times w|^2 \):

$$|v\times w|^2=|v|^2|w|^2sin^2\theta $$


e facendo le radici quadrate ambo i membri abbiamo la forma compatta.

Forma compatta

$$v\times w=|v||w|sin\theta \>\bar{n}$$

dove \(\bar{n}\) è il versore perpendicolare a \(v\) e \(w\).

Un metodo visivo per visualizzare il prodotto vettoriale è la regola della mano destra: si dispone il pollice nella direzione e nel verso del primo vettore \(v\) e l’indice nella direzione e nel verso del secondo vettore \(w\)… distendendo il medio in modo che sia perpendicolare al pollice e all’indice si ha la direzione e il verso di \(v\times w\).