Operazioni tra numeri complessi

Nei precedenti articoli abbiamo definito i numeri complessi e visto che si possono esprimere in diverse forme: la forma algebrica, la forma trigonometrica e la forma esponenziale. Oggi ci concentreremo sulle operazioni che possiamo definire in questo insieme. Prima di cominciare, ricordiamo che alcune di queste le abbiamo già viste: infatti per dire che l’insieme dei numeri complessi formava un campo abbiamo definito la somma e la moltiplicazione per la forma algebrica. Andiamo, quindi, a definire le operazioni per ogni forma che abbiamo visto.

Premessa: potenze dell’unità immaginaria

Questa non è una vera e propria operazione, ma una conseguenza della moltiplicazione dell’unità immaginaria per se stessa per un certo numero \(n\) di volte. Ricordiamo che per definizione:

$$i=\sqrt{-1}$$

$$i^2=i\cdot i =-1$$

$$i^3=i^2\cdot i= -1\cdot i=-i$$

$$i^4=i^3\cdot i=-i\cdot i=1$$

$$i^n=\begin{cases} i\quad se\>n:4\>da\>resto\>1 \\ -1\quad se\>n:4\>da\>resto\>2 \\ -i\quad se\>n:4\>da\>resto\>3 \\ 1 \quad se\>n:4\>da\>resto\>nullo \end{cases}$$

Siano:

• $$z=a+ib\quad w=c+id$$

  
  due numeri complessi espressi in forma algebrica.

• $$z_1= r_1(cos(\theta_1) + isen(\theta_1))\quad z_2= r_2(cos(\theta_2) + isen(\theta_2))$$

  
  due numeri complessi espressi in forma trigonometrica.

• $$w_1=r_1e^{i\theta_1}\quad w_2=r_2e^{i\theta_2}$$

  
  due numeri complessi espressi in forma esponenziale.

Allora definiamo le seguenti.

Somma di numeri complessi

• FORMA ALGEBRICA
  La somma \(z+w\) è quel numero che ha come parte reale la somma delle parti reali e come parte parte immaginaria la somma delle parti immaginarie di \(z\) e \(w\):
  

  $$z+w=(a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d)$$

• FORMA TRIGONOMETRICA
  La somma, mantenendo la stessa definizione della forma algebrica, è
  

  $$z_1+z_2=( r_1(cos(\theta_1) + isen(\theta_1)))+( r_2(cos(\theta_2) + isen(\theta_2)))=$$

  
  

  $$=(r_1cos(\theta_1)+ r_2cos(\theta_2))+i(r_1sen(\theta_1)+ r_2sen(\theta_2))$$

• FORMA ESPONENZIALE
  

  $$w_1+w_2=r_1e^{i\theta_1}+ r_2e^{i\theta_2}$$

Differenza di numeri complessi

• FORMA ALGEBRICA
  La differenza \(z-w\) è quel numero che ha come parte reale la differenza delle parti reali e come parte parte immaginaria la differenza delle parti immaginarie di \(z\) e \(w\):
  

  $$z-w=(a+ib)-(c+id)=(a-c)+i(b-d)$$

• FORMA TRIGONOMETRICA
  

  $$z_1-z_2=( r_1(cos(\theta_1) + isen(\theta_1)))-( r_2(cos(\theta_2) + isen(\theta_2)))=$$

  
  

  $$=(r_1cos(\theta_1)- r_2cos(\theta_2))+i(r_1sen(\theta_1)-r_2sen(\theta_2))$$

• FORMA ESPONENZIALE
  

  $$w_1-w_2=r_1e^{i\theta_1}-r_2e^{i\theta_2}$$

Prodotto di due numeri complessi

• FORMA ALGEBRICA
  Il prodotto è equivalente al solito prodotto che siamo abituati a fare coi numeri reali, avendo però l’accortezza di considerare le potenze dell’unità immaginaria. Svolgendo i calcoli avremo
  

  $$z\cdot w=(a+ib)(c+id)= ac+iad+ibc+i^2bd=$$

  
  

  $$= ac+iad+ibc-bd= (ac-bd)+i(ad+bc)$$

• FORMA TRIGONOMETRICA
  Svolgiamo anche qui i calcoli
  

  $$z_1\cdot z_2=( r_1(cos(\theta_1) + isen(\theta_1)))( r_2(cos(\theta_2) + isen(\theta_2)))= $$

  
  

  $$=r_1 r_2(cos(\theta_1) cos(\theta_2) +i sen(\theta_2)cos(\theta_1)+ isen(\theta_1) cos(\theta_2) - sen(\theta_1) sen(\theta_2))=$$

  
  Facendo la somma e la differenza di numeri complessi abbiamo
  

  $$=r_1 r_2[(cos(\theta_1) cos(\theta_2) - sen(\theta_1) sen(\theta_2)) +i (sen(\theta_2)cos(\theta_1)+ sen(\theta_1) cos(\theta_2))]=$$

  
  Notiamo, però, che nella prima parentesi tonda abbiamo la formula di addizione del coseno e nella seconda parentesi la formula di addizione del seno
  

  $$=r_1 r_2[cos(\theta_1 + \theta_2) +i sen(\theta_1 +\theta_2)]$$

• FORMA ESPONENZIALE
  

  $$w_1 \cdot w_2=r_1e^{i\theta_1} r_2e^{i\theta_2}=$$

  
  Usando le regole delle potenze avremo
  

  $$=r_1 r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}$$

Quoziente di due numeri complessi

• FORMA ALGEBRICA
  Per il calcolo del quoziente, invece, siamo in questa situazione:
  

  $$\frac{z}{w}=\frac{a+ib}{c+id}=$$

  
  Dobbiamo riportarlo alla consueta forma di un numero complesso. Un primo passo è moltiplicare e dividere il numero complesso \(c-id\) in modo tale da far scomparire al denominatore la \(i\)
  

  $$=\frac{a+ib}{c+id} \frac{c-id}{c-id}=\frac{(a+ib)(c-id)}{c^2-i^2d^2}=$$

  
  Ora svolgendo il prodotto tra complessi al numeratore e notando che \(i^2=-1\)
  

  $$=\frac{(ac+bd)+i(bc-ad)}{c^2+d^2}=\frac{(ac+bd)}{c^2+d^2}+i\frac{(bc-ad)}{c^2+d^2}$$

  
  che è la forma cercata.
• FORMA TRIGONOMETRICA
  Abbiamo lo stesso problema del caso algebrico e dobbiamo svolgere praticamente gli stessi calcoli:
  

  $$\frac{z_1}{z_2}=\frac{ r_1(cos(\theta_1) + isen(\theta_1))}{ r_2(cos(\theta_2) + isen(\theta_2))}= $$

  
  

  $$=\frac{ r_1(cos(\theta_1) + isen(\theta_1))}{ r_2(cos(\theta_2) + isen(\theta_2))} \frac{ cos(\theta_2) - isen(\theta_2)}{ cos(\theta_2) - isen(\theta_2)}= $$

  
  

  $$=\frac{r_1}{r_2} \frac{(cos(\theta_1) + isen(\theta_1)) (cos(\theta_2) - isen(\theta_2))}{ cos^2(\theta_2) +sen^2(\theta_2)}=$$

  
  Basta ora svolgere il prodotto di complessi al numeratore e usare le proprietà di seno e coseno al denominatore e avremo
  

  $$=\frac{r_1}{r_2}[(cos(\theta_1) cos(\theta_2) +sen(\theta_1) sen(\theta_2)) +i (sen(\theta_1) cos(\theta_2)-sen(\theta_2)cos(\theta_1))]=$$

  
  Notiamo, però, che nella prima parentesi tonda abbiamo la formula di sottrazione del coseno e nella seconda parentesi la formula di sottrazione del seno
  

  $$=\frac{r_1}{ r_2}[cos(\theta_1 - \theta_2) +i sen(\theta_1 - \theta_2)]$$

• FORMA ESPONENZIALE
  

  $$\frac{w_1} {w_2}=\frac{r_1e^{i\theta_1}}{ r_2e^{i\theta_2}}=$$

  
  Usando le regole delle potenze avremo
  

  $$=\frac{r_1} {r_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)}$$