I numeri reali sono numeri descritti mediante rappresentazione decimale limitata o illimitata, periodica o non periodica; si tratta di tutti e i soli numeri razionali e numeri irrazionali. L’insieme dei numeri reali si indica col simbolo ℝ. L’insieme dei numeri ℝ è caratterizzato da una serie di proprietà, in particolare la proprietà della completezza.
Volendo dare una definizione intuitiva dei numeri reali, si può dire che un numero reale è un qualsiasi numero razionale o irrazionale. Questa definizione risulta comprensibile solo se, ovviamente, si conosce la definizione di numero razionale e numero irrazionale.
Cosa vuol dire a livello pratico?
Che ogni numero reale ammette almeno una rappresentazione decimale ovvero esprimibile mediante le dieci cifre del sistema numerico decimale. La rappresentazione in questione può avere la parte decimale illimitata non periodica (se il numero è irrazionale) o la parte decimale limitata o illimitata periodica (se il numero è razionale).
Vediamo ora qualche esempio di numero reale:
- 1, -7, 8.6, 10/4 sono tutti numeri reali razionali;
- π, √2, -√11 sono tutti numeri reali irrazionali.
Numeri reali: proprietà algebriche dell’insieme dei numeri reali
Partiamo dalle proprietà che valgono per le operazioni di addizione e moltiplicazione nell’insieme ℝ. Chiariamo intanto che per l’insieme dei numeri reali vengono definite due operazioni:
- addizione, simboleggiata tramite +, che associa un numero reale C a una coppia di numeri reali A e B mediante la seguente relazione: C= A+B. Il risultato dell’addizione C prende il nome di somma tra A e B.
- moltiplicazione, simboleggiata tramite ⋅, che associa un numero reale C a una coppia di numeri reali A e B mediante la seguente relazione: C= A⋅B. Il risultato della moltiplicazione C prende il nome di prodotto tra A e B.
Vediamo ora di quali proprietà godono le due operazioni partendo dalle proprietà dell’addizione:
- proprietà commutativa ovvero a+b= b+a
- proprietà associativa ovvero a+(b+c)= (a+b)+c
Nell’insieme dei numeri reali viene garantita anche l’esistenza dell’elemento neutro rispetto alla somma, vale a dire lo 0; dell’elemento inverso additivo di ogni numero reale a indicato con -a e caratterizzato dalla relazione: a+(-a)= 0. L’inverso additivo prende il nome di opposto.
Vediamo ora le proprietà della moltiplicazione:
- proprietà commutativa ovvero a⋅b= b⋅a
- proprietà associativa ovvero a⋅(b⋅c)= (a⋅b)⋅c
Nell’insieme dei numeri reali viene garantita anche l’esistenza dell’elemento neutro rispetto al prodotto, vale a dire il numero 1; dell’elemento inverso moltiplicativo di ogni numero reale non nullo indicato con il simbolo 1/a e caratterizzato dalla relazione a ⋅1/a=1.L’inverso moltiplicativo prende il nome di reciproco.